Bestimmen sie für p eine Zahl so, dass der Punkt P in der Ebene E liegt

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie für p eine Zahl so, dass der Punkt P in der Ebene E liegt

E:x=(3,0,2)+r*(2,1,7)+s*(3,2,5)

Und P lautet: p(p,2,-2)

Problem/Ansatz

Ich verstehe nicht, einfach ich diese Aufgabe lösen soll

Answer 1

Löse die Gleichung

        (p,2,-2)=(3,0,2)+r*(2,1,7)+s*(3,2,5).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir müssen \(r\) und \(s\) so bestimmen, dass gilt:$$\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}p\\2\\-2\end{pmatrix}$$

Die mittlere Gleichung \((r+2s=2)\) liefert \((r=2-2s)\).

Das setzen wir in die untere Gleichung \((2+7r+5s=-2)\) ein:$$-2=2+7(2-2s)+5s=2+14-14s+5s=16-9s\implies9s=18\implies s=2$$Damit kennen wir auch \((r=2-2s=-2)\) und der gesuchte Punkt lautet:$$\begin{pmatrix}p\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-4+6\\0-2+4\\2-14+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\-2\end{pmatrix}$$

Also ist \((p=5)\).

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, aber ich glaube du hast einen Rechenfehler in deiner Rechnung, denn wie kommst du von 16-9s auf 18=9s, müsste es nicht dann 16=9s sein?

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Ganz links vom Gleichheitszeichen steht noch eine \((-2)\)...$$-2=16-9s\implies-18=-9s\implies 18=9s\implies s=2$$

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Wer lesen kann ist klar im Vorteil