Zu zeigen, dass f konstant ist

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet wie folgt: Zeigen Sie, dass für eine Funktion f : ℝ → ℝ aus

                                                               |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|²

für alle x,y ∈ ℝ folgt, dass f konstant ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich sowas zeigen soll, wäre also für jede Hilfe sehr dankbar!

Mit freundlichen Grüßen

Lionel

Answer 1

Aloha :)

Sei \(x\ne y\), dann gilt:$$\phantom{\implies}|f(x)-f(y)|\le|x-y|^2=|x-y|\cdot|x-y|$$$$\implies\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le|x-y|$$$$\implies-|x-y|\le\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le|x-y|$$$$\implies-\lim\limits_{x\to y}|x-y|\le\lim\limits_{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le\lim\limits_{x\to y}|x-y|$$$$\implies0\le f'(y)\le0$$$$\implies f'(y)=0$$$$\implies f(y)=\text{const.}$$

Comments

wow, vielen herzlichen Dank. Ich kann es tatsächlich sogar nachvollziehen :)