Lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen / welche Aussagen sind wahr?

Question

Aufgabe:

Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind:

(i) Sind $v_{1}, \ldots, v_{n}$ in $V$ linear unabhängig, so sind $\varphi\left(v_{1}\right), \ldots, \varphi\left(v_{n}\right)$ in $W$ linear unabhängig.

(ii) Sind $\varphi\left(v_{1}\right), \ldots, \varphi\left(v_{n}\right)$ in $W$ linear unabhängig, so sind $v_{1}, \ldots, v_{n}$ in $V$ linear unabhängig.

Problem/Ansatz:

also soweit ich das verstanden hab muss ich bei lineare unabhängigkeit immer auf den Nullvektor prüfen.... also leider bin mir nicht  100% sicher wie ich richtig auf denn nullvektor prüf und 2. würd die aufgabe für mich so aussehen dass wenn (i) wahr ist, (ii) auch wahr sein müsste oder lieg ich hier falsch?

Answer 1

wenn (i) wahr ist, (ii) auch wahr sein müsste

Das ist soweit richtig. Allerdings:

• (ii) ist auch dann wahr, wenn (i) nicht wahr ist.
• (i) ist nicht wahr.

Wenn (i) wahr wäre, dann könnte es keine linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^3$ nach $\mathbb{R}^2$ geben.

Zu (ii): Ist $v_n = \sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_iv_i$, dann ist $\varphi(v_n) = \sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_i\varphi(v_i)$.

immer auf den Nullvektor prüfen

Eine andere Möglichkeit: $v_{1}, \ldots, v_{n}$ sind genau dann linear abhängig, wenn es ein $i \in \{1,\dots,n\}$ gibt, so dass sich $v_i$ als Linearkombination von $\{v_{1}, \ldots, v_{i-1},v_{i+1},\dots, v_{n} \}$ darstellen lässt.

Comments

könntest du mir noch sagen wie du weißt dass (i) nicht wahr ist?

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(i) ist nicht wahr, weil es lineare Abbildungen von $\mathbb{R}^3$ nach $\mathbb{R}^2$ gibt.