wie das Fourier-Polynom berechnen?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das n-te Fourier-Polynom der Funktion ƒ: [-π, π] → ℝ, x → IxI für alle n∈ℕ₀

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie das geht.

Answer 1

$$a(0) = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} |x|dx \\ a(k) = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} |x|*cos(k*x)dx \quad für \quad k = 1,2,... \\ b(k) = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} |x|*sin(k*x)dx \quad für \quad k = 1,2,... \\ \text{-----------------------------------------------------------------} \\ \text{da |x| eine gerade Funktion ist: }\\ a(0) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} x dx = \pi\\ \text{-----------------------------------------------------------------} \\ \text{da |x|*cos(x) eine gerade Funktion ist: }\\ a(k) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} x * cos(k*x)dx = \\ \frac{2}{\pi} [\frac{k*x*sin(k*x)}{k^2} + \frac{cos(k*x)}{k^2}][0,\pi] = \\ \frac{2}{\pi} [\frac{cos(k*x)}{k^2}][0,\pi] = \frac{2}{\pi} [\frac{cos(k*\pi)}{k^2} - \frac{1}{k^2}] = \frac{2*((-1)^k-1)}{\pi*k^2} \\ \text{-----------------------------------------------------------------} \\ b(k) = \frac{1}{\pi} [sign(x)*(\frac{sin(k*x)}{k^2} - \frac{k*x*cos(k*x)}{k^2})][-\pi,\pi] = 0  \\ \text{-----------------------------------------------------------------} \\ f(x) = \frac{a(0)}{2} + \frac{2}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{((-1)^k-1)}{k^2} * cos(k*x)$$

Answer 2

Hallo

1. |x| ist symmetrisch zu x=0 also musst du nur die cos Terme ausrechnen.

dazu sieh die Formel für die Fourriekoeffizienten nach und integriere einfach, falls du Schwierigkeiten mit den Integralen hast nimm Integralrechner .de

statt von -π bis +π zu rechnen kannst du von 0 bis π rechnen und verdoppeln, dann ist |x|=x

"Ich verstehe nicht, wie das geht" ist eigenartig, die Formel hattet ihr, was kannst du nicht verstehen

Gruß lul