Aloha :)
Gegeben ist die Abbildung:$$\varphi\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^2\,;\;\varphi(\vec x)=\varphi(x_1;x_2;x_3;x_4)=\binom{5x_1+2x_3}{3x_2+x_3-4x_4}$$
zu a) Sei \(c\in\mathbb R\) eine beliebige Konstante und seien \(\vec x,\vec y\in\mathbb R^4\), dann gilt:$$\varphi(c\vec x+\vec y)=\binom{5(cx_1+y_1)+2(cx_3+y_3)}{3(cx_2+y_2)+(cx_3+y_3)-4(cx_4+y_4}$$$$\phantom{\varphi(c\vec x+\vec y)}=\binom{5cx_1+5y_1+2cx_3+2y_3}{3cx_2+3y_2+cx_3+y_3-4cx_4-4y_4}$$$$\phantom{\varphi(c\vec x+\vec y)}=\binom{c(5x_1+2x_3)+(5y_1+2y_3)}{c(3x_2+x_3-4x_4)+(3y_2+y_3-4y_4)}$$$$\phantom{\varphi(c\vec x+\vec y)}=c\binom{5x_1+2x_3}{3x_2+x_3-4x_4}+\binom{5y_1+2y_3}{3y_2+y_3-4y_4}=c\varphi(\vec x)+\varphi(\vec y)\quad\checkmark$$
zu b) Der Kern von \(\varphi\) besteht aus allen Eingansvektoren \(\vec x\), die den Nullvektor \(\vec 0\) als Ergebnis haben:$$5x_1+2x_3\stackrel!=0\implies 5x_1=-2x_3\implies x_1=-\frac25x_3$$$$3x_2+x_3-4x_4\stackrel!=0\implies 3x_2=-x_3+4x_4\implies x_2=-\frac13x_3+\frac43x_4$$Das führt zu folgenden Lösungen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac25x_3\\[0.5ex]-\frac13x_3+\frac43x_4\\[0.5ex]x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac25x_3\\[0.5ex]-\frac13x_3\\[0.5ex]x_3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[0.5ex]\frac43x_4\\[0.5ex]0\\x_4\end{pmatrix}=-\frac{x_3}{15}\begin{pmatrix}6\\5\\-15\\0\end{pmatrix}+\frac{x_4}{3}\begin{pmatrix}0\\4\\0\\3\end{pmatrix}$$Damit haben wir 2 Basisvektoren des Kerns gefunden:$$\text{kernel}(\varphi)=\left(\;\begin{pmatrix}6\\5\\-15\\0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0\\4\\0\\3\end{pmatrix}\;\right)$$
zu c) Da der Kern 2-dimensional ist, muss das Bild \(4-2=2\) dimensional sein. Das Bild ist der gesamte \(\mathbb R^2\). Du kannst dir das auch ohne den Dimensionssatz überlegen, denn:$$\varphi\left(\frac15;0;0;0\right)=\binom{1}{0}\quad\text{und}\quad\varphi\left(0;0;0;-\frac14\right)=\binom{0}{1}$$
zu d) Die Abbildungsmatrix \(A\) findest du so:
$$\varphi(\vec x)=\binom{5x_1+2x_3}{3x_2+x_3-4x_4}=\binom{5}{0}x_1+\binom{0}{3}x_2+\binom{2}{1}x_3+\binom{0}{-4}x_4$$$$\varphi(\vec x)=\left(\begin{array}{rrrr}5 & 0 & 2 & 0\\0 & 3 & 1 & -4\end{array}\right)\cdot\vec x$$
