Satz von Bolzano-Weierstraß

Question

Aufgabe:

Sei (an) ⊂ R eine Folge. Beweisen Sie: Ist (an) beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt a,
so konvergiert (an) bereits gegen a.

Problem/Ansatz:

Heyy, ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, ich stehe vom ersten Moment an aufm Schlauch, ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.
Grüße Michael

Answer 1

Du kannst wie im Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass verfahren, i.e. mittels Intervalschachtelung, wobei hier der essentielle Unterschied ist, dass es in jedem Schritt nur ein Intervall mit unendlich vielen Folgegliedern gibt (da es nur einen Häufungspunkt gibt).

Answer 2

Eine andere Möglichkeit, falls du den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden willst, ist:

Angenommen die Folge konvergiert nicht gegen den \(a\), dann kannst du eine Teilfolge auswählen, die "weit weg" von \(a\) ist. Diese ist dann immer noch beschränkt und hat nach Bolzano-Weierstraß wieder einen Häufungspunkt \(b\). Dann ist aber \(b\) auch Häufungspunkt von der ursprünglichen Folge \((a_n)_n\) und nach Konstruktion gilt \(a\neq b\). Das ist ein Widerspruch also konvergiert die Folge gegen \(a\).