Bestimmen sie die Konvergenzgebiete der folgenden Potenzreihen:

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Konvergenzgebiete der folgenden Potenzreihen:

i) \( \sum\limits_{k≥1}^{\infty} \)k³÷k!(x-1)^k

ii) \( \sum\limits_{k≥1}^{\infty} \)k²÷2^k+1(x+2)^k

Problem/Ansatz:

Hi was sind Konvergenzgebiete und wie bestimmt man diese?

Comments

Hi was sind Konvergenzgebiete

Gegenfrage: Warum besuchst du deine Lehrveranstaltungen nicht (bzw. wenn du sie doch besuchst: Warum schreibst du dort nichts mit?)

Wenn ich dir damit Unrecht tue und du nur mit KonvergenzGEBIETEN nichts anfangen kannst:

KonvergenzGEBIETE liegen typischerweise um den Entwicklungspunkt herum, und die Ausdehnung dieser Gebiete wird durch den KonvergenzRADIUS bestimmt.

Kannst du mit letzterem Begriff etwas anfangen?

Answer 1

Es geht wohl um Potenzreihen im Reellen ?

Die erste Reihe konvergiert natürlich für x=1; denn da ist es

ja eine Folge von lauter 0en.

Für andere Werte von x hängt es zunächst mal vom

Konvergenzradius r ab, dann konvergiert es jedenfalls für

alle x ∈ ]1-r ; 1+r [ bzw. für alle x ∈ ℝ, wenn r=∞.

Dazu findest du hier was: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

In deinem Fall ist ja \( a_n = \frac{n^3}{n!} \) also musst du z.B.

für das Quotientenkriterium betrachten (ohne Betrag, da alles positiv):

\(  \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{ \frac{n^3}{n!} }{ \frac{(n+1)^3}{(n+1)!} } \)

\( = \frac{n^3 \cdot (n+1)!}{n! \cdot (n+1)^3 } \)

\( = \frac{n^3 \cdot (n+1)}{(n+1)^3 } = \frac{n^3 }{(n+1)^2 } \)

Das geht offenbar gegen unendlich, also ist der Konvergenzradius ∞

und die Reihe konvergiert also für alle x∈ℝ.

Also ist ℝ das Konvergenzgebiet oder entsprechend ℂ, wenn es im Komplexen spielt.