rationale Punkte auf einem Kreis

Question

Gegeben sei ein beliebiger Kreis um den Ursprung.

Gibt es rationale Punkte auf dem Kreis?

Answer 1

Es gibt Kreise mit und Kreise ohne, vgl. https://doi.org/10.2307/2320748

Answer 2

Schau mal unter https://www.youtube.com/watch?v=VAAmTVppbBo

Comments

Das Video zeigt nur, dass es einen bestimmten Kreis gibt, auf dem keine rationalen Punkte liegen.

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Ich kann dir unendlich viele kreise sagen auf dem es rationale Punkte gibt

x^2 + y^2 = r^2

hat immer die Lösungen (0 | ±r) sowie (±r | 0).

Es gibt also Kreise auf dem rationale Punkte liegen und es gibt kreise auf denen keine rationalen Punkte liegen.

Ist es nicht auch so das, wenn x und y rational sind dann müsste auch r^2 rational sein. Was ist also mit

x^2 + y^2 = √2

Answer 3

Auf dem Kreis mit Radius \(\sqrt{2}\) liegt der Punkt \((1|1)\).

Comments

Jetzt habe ich einen einzigen rationalen Punkt auf einen bestimmten Kreis. Etwas allgemeiner wäre sinnvoller.

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vier Punkte \((\pm1|\pm1)\), nicht "einen einzigen"