Kreis geht durch die Punkte A und B, sein Mittelpunkt liegt auf der Geraden g. Wie lautet die Tangente im Punkt A?

Question

Aufgabe:

ein Kreis k geht durch den Punkten A= (1/4) und B=(5/2). Sein Mittelpunkt liegt auf der  Geraden g: 5x+ 2y=-15. Wie lautet die Tangente an den Kreis k im Punkt A.

Problem/Ansatz:

Kann mir da wer helfen

Answer 1

Der Mittelpunkt hat von A und B denselben Abstand. Darum heißt er so.

Dieser Abstand ist der Radius. Mit Radius und Mittelpunkt kann man die Kreisgleichung aufstellen. Mit der findet man die Steigung bei A und das ist auch die Steigung der Tangente.

Comments

Die x-Koordinate des Mittelpunkts auf der Geraden erhält man mit der Gleichung

\( \sqrt{(x-1)^{2}+\left(-\frac{5}{2} x-\frac{15}{2}-4\right)^{2}}=\sqrt{(x-5)^{2}+\left(-\frac{5}{2} x-\frac{15}{2}-2\right)^{2}} \)

weil dort die Distanz zu A gleich ist wie die Distanz zu B.

Die grüne Gerade ist die gesuchte Tangente.

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Ich verstehs nicht könntest du mir es detailierter erklären :/

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Ich verstehe nicht, was Du nicht verstehst. Könntest Du das detailierter erklären? Damit geklärt ist, was ich noch erklären soll.

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Ich versteh es nicht wie du auf diese gleichungen kommst. Geht das nicht viel einfacher?

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Noch einfacher kann ich mir nicht vorstellen. Wenn man die Tangente an einen Kreis sucht, möchte ich zuerst herausfinden, was das für ein Kreis ist (die Kreisgleichung).

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Ich kann die Lösung leider auch nicht nachvollziehen. Könnten Sie bitte die Lösung nochmals auf einem anderen Lösungsweg erklären - Danke!

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Hallo Blue001, wenn Du schreibst was unklar ist, werde ich versuchen das zu erhellen. Es ist der Lösungsweg der für mich auf der Hand liegt. Kollege Abakus hat andernorts auf dieser Seite einen anderen Lösungsweg aufgeschrieben. Vielleicht ist jener Weg für Dich einfacher.

Answer 2

Sei (u|v) der Mittelpunkt des Kreises k. Dann gilt:

(1) (u-5)²+(v-2)²=(u-1)²+(v-4)²

(2) 5u+2v=- 15

Dies System hat die Lösungen u=-1 und v=-5.

Dann hat MA die Steigung 9/2 und die Tangente an k in A hat die Steigung -2/9.

Punkt-Steigungs-Form der Tangente an k in A: - \( \frac{2}{9} \)=\( \frac{y-4}{x-1} \).

Aufgelöst nach y: y= - 2/9x+38/9.

Answer 3

Berechnung des Kreises:

Der Kreismittelpunkt M(x_M|y_M) liegt auf der Geraden: \(y=-2,5x-7,5\)→  y_M=-2,5x_M-7,5

(x-xM)^2+(y-yM)^2=r^2  →(x-x_M)^2+(y+2,5x_M+7,5)^2=r^2

1.)A (1|4)→(1-x_M)^2+(4+2,5x_M+7,5)^2=r^2   →(1-x_M)^2+(2,5x_M+11,5)^2=r^2

2.)B(5|2)→(5-x_M)^2+(2+2,5x_M+7,5)^2=r^2  →(5-x_M)^2+(2,5x_M+9,5)^2=r^2

1.)-2.) (1-xM)^2+(2,5xM+11,5)^2-[(5-xM)^2+(2,5xM+9,5)^2]=0 →x_M=-1   →  y_M=2,5-7,5=-5

(1-(-1))^2+(2,5*(-1)+11,5)^2=r^2   → r^2=85

k:(x+1)^2+(y+5)^2=85

Nun weiter zur Tangentengleichung....

Comments

Die Kreisgleichung ist entbehrlich. Der Radius steht senkrecht auf der Tangente.

Answer 4

@döschwo

@Roland

Wer zum Teufel braucht hier Kreis- bzw. quadratische Gleichungen???

PS: Auch Moliets ist auf diesen sinnlosen Zug noch aufgesprungen.

@Lisa.müller1

@Blue001

Zeichnet euch einen Kreis mit den Mittelpunkt M und zwei Punkten A und B auf dem Kreis.

Zeichnet die Sehne AB.

Erkennt ihr, dass M auf der Mittelsenkrechten von AB liegen muss?

M liegt also sowohl auf der Mittelsenkrechten von AB (könnt ihr deren Gleichung aufstellen?) als auch auf der vorgegebenen Geraden 5x+ 2y=-15.

Könnt ihr jetzt M bestimmen, indem ihr den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnet?

Wie lautet die Tangente an den Kreis k im Punkt A.

Das ist eine Gerade, die durch A verläuft und senkrecht auf MA steht.

Comments

@abakus: Eine Kreisgleichung habe auch ich nicht gebraucht. Aber Dein Weg ist noch besser, als meiner. Glückwunsch.

Answer 5

ein Kreis k geht durch den Punkten A = (1/4) und B = (5/2). Sein Mittelpunkt liegt auf der Geraden g: 5x+ 2y = -15. Wie lautet die Tangente an den Kreis k im Punkt A.

Der Mittelpunkt muss von den Punkten A und B gleich weit entfernt liegen. Damit können wir die Mittelsenkrechte zu A und B bestimmen.

Mittelsenkrechte zu A und B

mAB = (2 - 4)/(5 - 1) = -2/4 = -0.5

MAB = (3 | 3)

h: y = 2·(x - 3) + 3 = 2·x - 3

Schnittpunkt g und h

5·x + 2·y = -15 --> y = - 2.5·x - 7.5

2·x - 3 = - 2.5·x - 7.5 --> x = -1

y = 2·(-1) - 3 = -5 → M(-1 | -5)

Steigung zwischen M und A

mMA = (-5 - 4)/(-1 - 1) = 9/2

Tangente im Punkt A

t: y = -2/9·(x - 1) + 4 = 38/9 - 2/9·x

Skizze