Hallöle,
Ich wieder :D Ich brauche wieder mal eure Hilfe. Ich brauche eine Lösung für diese Textaufgabe "Differenzialrechnung". Jedoch habe ich hoffentlich einiges richtig vorgerechnetz und eingesetzt aber komme nicht auf die richtige lösung, kann mir wer eine Lösung zeigen bitte (mit Erklärung bitte)
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Aufgabe:
Wie muss man die Höhe h und den Radius r einer zylinderförmigen Dose wählen, damit
sie ein Volumen von 1000 Litern hat und die Oberäche minimal ist? Geben Sie bitte alle Rechenschritte an und
runden Sie das Ergebnis auf eine Genauigkeit von einem Millimeter.
Soweit habe ich:
Formeln für Volumen und Oberfläche:
\( V(h, r)=\pi r^{2} h, \quad O(h, r)=\underbrace{2 \pi r h}_{\text {Mantelfläche Deckel und Boden }}+\underbrace{2 \pi r^{2}}+ \)
zu beachten ist: Einheit für Volumen in Liter ergibt Einheit für \( h \) und \( r \) in Dezimeter.
Bedingung für Volumen \( n \) ach \( h \) auflösen :
\( \pi r^{2} h=1000 \Longleftrightarrow h=\frac{1000}{\pi r^{2}} \)
\( h \) in Oberfläche einsetzen \( O(r)=\frac{2 \cdot 1000}{r}+2 \pi r^{2} \).
Minimale Oberfläche über erste Ableitung:
\( O^{\prime}(r)=-\frac{2 \cdot 1000}{r^{2}}+4 \pi r=0 \Longleftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{1000}{2 \pi}} \approx 0.54 \triangleq 54 \mathrm{~mm}, \quad \)
