Aloha :)
Die Komponenten der Vektoren \(\vec g^{(k)}\) in der Basis \(G\) sind bezüglich der Standardbasis \(S3\) des \(\mathbb R^3\) angegeben. Daher kennen wir die Transformationsmatrix von \(G\) nach \(S3\):$${_{S3}}\mathbf{id}_G=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Von der Abbildung \(L\) kennen wir die Bilder der Basisvektoren aus \(G\). Diese Bilder sind bezüglich der Standardbasis \(S2\) des \(\mathbb R^2\) angegeben. Daher können wir die Abbildungsmatrix für \(L\) angeben, die Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(G\) erwartet und Ausgangsvektoren bezüglich der Basis \(S2\) liefert:$${_{S2}L_G}=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 0\\1 & 3 & 1\end{array}\right)$$
Die Komponenten der Vektoren \(\vec h^{(i)}\) der Basis \(H\) sind bezüglich der Standardbasis \(S2\) der \(\mathbb R^2\) angegeben, sodass wir die Transformationsmatrix von \(H\) nach \(S2\) kennen:$${_{S2}}\mathbf{id}_H=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$
Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix \({_H}L_G\), die Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(G\) erwartet und Ausgangsvektoren bezüglich der Basis \(H\) liefert:$${_H}L_G={_H}\mathbf{id}_{S2}\cdot{_{S2}}L_G=\left({_{S2}}\mathbf{id}_H\right)^{-1}\cdot{_{S2}}L_G=\left(\begin{array}{rrr}-3 & -2 & -1\\1 & 3 & 1\end{array}\right)$$
Zur Bestimmung von \(L(1;9;-3)\) müssen wir den Eingangsvektor aus der Standardbasis \(S3\) in die Basis \(G\) transformieren:$$L(1;9;-3)={_{S2}}L_G\cdot{_G}\mathbf{id}_{S3}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\9\\-3\end{array}\right)={_{S2}}L_G\cdot\left({_{S3}}\mathbf{id}_{G}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\9\\-3\end{array}\right)=\binom{28}{25}$$
