Berechne den Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden.

Question

Aufgabe:  Gegeben sind die Geraden:

\( g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -4\end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{c}0 \\ -3 \\ 1\end{array}\right), \quad \lambda_{1} \in \mathbb{R} \),
\( g_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \quad \lambda_{2} \in \mathbb{R} . \)

Berechne den Abstand d zwischen den beiden windschiefen Geraden.

d = ......??

Answer 1

Seien \(P_1\) auf \(g_1\) und \(P_2\) auf \(g_2\) so dass \(\vec{P_1P_2}\) möglichst kurz ist. Dann ist \(\vec{P_1P_2} \perp g_1\) und \(\vec{P_1P_2} \perp g_2\).

Es ist

          \(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-5\\1\\-4\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix} - \lambda_1\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}\).

Löse damit das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}\vec{P_1P_2}\cdot \begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}&=0\\\vec{P_1P_2}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}&=0\end{aligned}\)

um \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) zu bestimmen.

Setze in \(g_1\) und \(g_2\) ein um \(P_1\) und \(P_2\) zu bestimmen.

Berechne damit

        \(d = \left|\vec{P_1P_2}\right|\).