Zeigen Sie, dass Z und die Menge der geraden natürlichen Zahlen einschließlich der Null gleichmächtig sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Z und die Menge der geraden natürlichen Zahlen einschließlich der Null gleichmächtig sind.

Problem/Ansatz:

Wie geht das? Hilfe

Answer 1

Hallo

du musst einfach eine Abbildung angeben die jeder geraden Zahl eine Zahl aus Z zuordnet, oder umgekehrt.

lul

Answer 2

Wenn du den Äquivalenz-Satz von Cantor und Bernstein nicht kennst,

solltest du eine Bijektion \(f:\;2\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}\) angeben.

Hier als Tipp ein paar "Versatzstücke", aus denen du ein \(f\) konstruieren kannst.

Da du positive und negative Werte brauchst, ist sicher ein Faktor \((-1)^{n/2}\)

nützlich. Irgendwie brauchst du dann (jetzt mal von der 0 abgesehen) jeden

Absolutbetrag doppelt, also die Folge 1,1,2,2,3,3,4,4,...

Hier kannst du die Gaussklammer einsetzen, z.B. \(\lfloor n/4 \rfloor\)

liefert die Zahlen 0,1,1,2,2,3,3,4,4, ..., wenn \(n\) die geraden Zahlen

2,4,6,8,10, ... durchläuft. Mit ein bisschen Experimentiererei und leichten

Abwandlungen kannst du aus diesen Stücken dein \(f\) basteln.

Answer 3

Hallo,

eine Möglichkeit sieht so aus:

ℕ --> ℤ

0 → 0

1 → -1

2 → 1

3 → -2

4 → 2

5 → -3

6 → 3

usw.

:-)

n → (2n-(-1)^n+1)/4*(-1)^n