Bestimmen Sie den Schnittwinkel ALpha zwischen den Ebenen.

Question

Aufgabe:     Gegeben sind die Ebenen

\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)
\( E_{2}:-4 x+5 y+5 z-2=0 \).
Geben Sie dazu zunächst den Normalenvektor der Ebene \( E_{1} \) an:
Bestimmen Sie den Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen den Ebenen.
Geben Sie das Ergebnis im Gradmaß, gerundet auf ganzzahlige
Winkel an.
\( \alpha= \)

Kann mir bitt hier jemand Helfen ??

Danke im Voraus, ich schaffe es nicht selbst und würde gerne wissen wie man das rechnet, also gerne mit Rechenweg zur Erklärung

Dankee:**

Comments

den Normalenvektor der Ebene

Es gibt nicht "den" Normalenvektor, sondern unendlich viele.

Answer 1

Hallo

den Winkel zwischen den Normalen bestimmt man über das Skalarprodukt, das ist derselbe Winkel wie zwischen Ebenen.

lul

Answer 2

Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene 1 lautet

n1 = (3,1,2) x (0,1,-2) = (-4,6,3)

Der Vektor n1 steht senkrecht auf der Ebene 1.

Der Normalenvektor der Ebene 2 lautet:

n2 = (-4,5,5)

Der Vektor n2 steht senkrecht auf der Ebene 2.

Für den Winkel alpha zwischen den beiden Vektoren n1 und n2 gilt:

$$cos ( alpha ) = \frac{| n1 * n2 |}{|n1| * |n2|}  = \frac{16+30+15}{\sqrt{16+36+9} *\sqrt{16+25+25}}  = 0.9613752775282...\\$$
alpha ~ 15.98 Grad