Bestimmen Sie den Schnittwinkel \alpha zwischen den Ebene

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebenen
\( \begin{array}{l} E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -5 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \\ E_{2}:-6 x+8 y+12 z-4=0 \end{array} \)
Geben Sie dazu zunächst den Normalenvektor der Ebene \( E_{1} \) an:
\( \vec{n}_{1}= \)
Bestimmen Sie den Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen den Ebenen.
Geben Sie das Ergebnis im Gradmaß, gerundet auf ganzzahlige Winkel an.
\( \alpha= \)

Problem/Ansatz:

Leute könnt ihr mir bitt hier die richtige Lösung nennen .. Ich versuche das zu Lösen bin aber 2 mal auf verschiede Ergebnisse gekommen. Gerne mit Erklärung damit ich es nachvollziehen kann. Dankee!:**

Answer 1

Hallo,

Der Schnittwinkel \( \alpha \) zweier Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \( \vec{n} \) und \( \vec{m} \) :
\( \cos \alpha=\displaystyle \frac{|\vec{n} \circ \vec{m}|}{|\vec{n}| \cdot|\vec{m}|}\)

\( E_1:\;-6 x_{1}+10 x_{2}+10 x_{3}=-28 \)

\( E_{2}:\;-6 x+8 y+12 z=4 \)

\(\cos \alpha=\displaystyle \frac{|\vec{n} \circ \vec{m}|}{|\vec{n}| \cdot|\vec{m}|}=\frac{36+80+120}{\sqrt{36+100+100}\cdot \sqrt{36+64+144}}\approx 0,9835\\ \Rightarrow \alpha=10°\)

Gruß, Silvia