Momentane Änderungsrate von Faktor A

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

\( q=F\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.35 x_{1}+0.25 x_{2}+0.2 x_{1} x_{2}} \)

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=F(x1,x2) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination (x1,x2)=(1.6,2.7).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor A bei Erhöhung von Faktor B um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von F(1.6,2.7) Mengeneinheiten.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf -0,72 - kann das sein?

1) f'x1(1,6;2,7)=6,444826181

2) f'x2(1,6;2,7)=4,650064460

3) -F'(y)/F'(x)=-0,72

Answer 1

F(x,y) = e^{0.35x +0.25y+0.2xy}

F(x,y)/dx =  (0.2y + 0.35) * F(x,y)
F(x,y)/dy =  (0.2x + 0.25) * F(x,y)

Da sich F(x,y) nicht ändern soll, folgt

(I) F(x,y)/dx * Dx + F(x,y)/dy * Dy = 0

(I) (0.2y + 0.35) * F(x,y) * Dx + (0.2x + 0.25) * F(x,y) * Dy = 0

wegen F(x,y) !=0 folgt

(I) (0.2y + 0.35) * Dx + (0.2x + 0.25) * Dy = 0
(I) (0.2y + 0.35) * Dx = -(0.2x + 0.25) * Dy
$$(I) \quad Dx = -\frac{0.2x + 0.25}{0.2y + 0.35} * Dy$$

(1.6, 2.7) eingesetzt:$$(I) \quad Dx = -\frac{0.57}{0.89} * Dy = -0.640449 * Dy $$Bei einer Erhöhung von y um eine Einheit muss x um 0.640449 Einheiten vermindert werden.

Ich habe das etwas ausführlicher dargestellt. Dein Rechenweg ist auch richtig, bis auf f'x1(1.6;2.7)=6.444826181. Da kommt 7.26063 raus, und - 4.65006446 / 7.26063 ergibt ebenso ungefähr -0.640449.