momentane Änderungsrate bestimmen von Faktor B bei Erhöhung von Faktor A um

Question

Text erkannt:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \( A \) und \( B \) her. Die herstellbare Menge des
Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
$$ q=F\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.15 x_{1}+0.15 x_{2}+0.5 x_{1} x_{2}} $$
Dabei bezeichnen \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \( A \) und \( B \) und \( q=F\left(x_{1}, x_{2}\right) \) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(2.8,1.1) \)

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor \( B \) bei Erhöhung von Faktor \( A \) um
eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von \( F(2.8,1.1) \)
Mengeneinheiten.
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Aufgabe:

Answer 1

Es wäre einfacher wenn du immer sagst wobei du Probleme hast.

Hier meine Lösung

F(x, y) = e^(0.15·x + 0.15·y + 0.5·x·y)

F'x(x, y) = e^(0.15·x + 0.15·y + 0.5·x·y)·(0.5·y + 0.15)
F'x(2.8, 1.1) = 5.861

F'y(x, y) = e^(0.15·x + 0.15·y + 0.5·x·y)·(0.5·x + 0.15)
F'y(2.8, 1.1) = 12.98

y' = -F'x(2.8, 1.1)/F'y(2.8, 1.1) = -5.861/12.98 = -0.4515

Answer 2

Aloha :)

$$F(x_1,x_2)=\exp\left(0,15(x_1+x_2)+0,5x_1x_2\right)\quad;\quad(x_1,x_2)=(2,8|1,1)$$Der Wert \(F(x_1,x_2)\) soll sich nicht ändern, also ist das totale Differential Null:

$$0=dF=\partial_1F\,dx_1+\partial_2F\,dx_2$$$$\phantom{0}=F(x_1,x_2)\cdot(0,15+0,5x_2)dx_1+F(x_1,x_2)\cdot(0,15+0,5x_1)dx_2$$$$\phantom{0}=F(2,8|1,1)\cdot0,7\,dx_1+F(2,8|1,1)\cdot1,55\,dx_2$$$$\Rightarrow\quad dx_2=-\frac{0,7}{1,55}\,dx_1\approx\boxed{-0,451613}dx_1$$