Wähle zwei verschiedene Basen v und w von V, und bestimme die Koordinatenvektoren für die Polynome

Question

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Aufgabe 38
Sei \( V=\mathbb{R}[t]_{\leq 4} \) der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad \( \leq 4 \).
(i) Wählen Sie zwei verschiedene Basen \( \underline{v} \) und \( \underline{w} \) von \( V \), und bestimmen Sie die Koordinatenvektoren \( \xi_{\underline{v}}\left(p_{i}\right) \) und \( \xi_{\underline{\underline{w}}}\left(p_{i}\right) \) für jedes der folgenden Polynome:
\( p_{1}=-1+3 t^{2}-2 t^{3}, \quad p_{2}=t^{4}, \quad p_{3}=(t-1)^{2}-(t+2)^{3} . \)
(ii) Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen \( \varphi: V \rightarrow V \) linear sind:
(a) \( p \mapsto p(1) \) (Auswertung in 1).
(b) \( p \mapsto p(0)+1 \).
(c) \( p \mapsto p^{\prime}+p \), wobei \( p^{\prime} \) die Ableitung nach \( t \) ist.
(d) \( p \mapsto p^{2}-1 \).

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier wer bei (i) helfen wie ich die Basen und Koordinatenvektoren bestimme?

Answer 1

1. Standardbasis 1,t,t^2,t^3,t^4

Da hat p1 die Koordinaten -1 ; 0 ; 3 ; -2 0

und p2 hat 0;0;0;0;1

und p3 hat -7; -14; -5 ;-1 ; 0

2. Basis etwa  1,t,t^2,t^3, 0,5t^4

Da hat p1 die Koordinaten -1 ; 0 ; 3 ; -2 0
und p2 hat 0;0;0;0;2
und p3 hat -7; -14; -5 ;-1 ; 0

(ii) a) linear; denn (p+q)(1) = p(1)+q(1)

                und (x*p)(1) = x*p(1)

b) nicht linear weil z.B. (p+q)(0)+1

      im allg ( etwa für p=q=t ) nicht gleich

                         p(0)+1 + q(0)+1

c)linear

d) nicht linear

Comments

Hey vielen Dank das hilft mir auf jeden Fall weiter! könnt ich vll nur kurz noch fragen woher man gleich weiß dass c und d linear und nicht linear sind?

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c und linear und d l nicht linear :

Bilde mal ab p+q und x*p

und vergleiche mit den Bildern

von p und q einzeln und mit x* Bild von p.

Dann passt es bei c) und bei d) nicht, weil z.B

(p+q)^2 +1 nicht gleich p^2+1   +    q^2 + 1

etwa bei p=t und q = t^2 .