Jacobimatrix einer Funktion berechnen mit Integral in der Abbildungsvorschrift

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Jacobimatrix der folgenden Funktion.

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x \int \limits_{0}^{y} \cos \left(t^{2}\right) d t \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass am Ende eine Jacobimatrix mit einer Zeile und zwei Spalten herauskommt, aber ich weiß nicht, wie ich die einzelnen partiellen Ableitungen berechnen soll, also wie sehen

\(\frac{\partial f}{\partial x}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}\) aus?

Den das größte Probelm dabei ist das Integral und nach Internetrecherche verwendet man dabei ein sog. "Fresnel-Integral", aber das habe ich noch nie gesehen und weiß auch nicht, ob ich das verwenden darf.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x \int \limits_{0}^{y} \cos \left(t^{2}\right) d t \) 

Bei \(\frac{\partial f}{\partial y}\) nicht so wild:

Da ist das x eine Konstante und die Ableitung des Integrals nach der

oberen Grenze ist cos(y^2) also

\(\frac{\partial f}{\partial y} = x \cdot cos(y^2) \) 

und bei \(\frac{\partial f}{\partial x}\) bleibt das Integral übrig.

Comments

Stimmt, man kann das Integral einfach in Ruhe lassen, weil es ist sowieso nur nach der Jacobi-Matrix gefragt, die wie folgt dann aussieht:
\( D_f(x,y) = \begin{pmatrix} \int \limits_{0}^{y} \cos \left(t^{2}\right) d t, & xcos(y^2) \end{pmatrix} \)

Dankeschön :)