Bestimmen Sie die Matrixdarstellung.

Question

Sei \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi(x)=\left(\begin{array}{c}2 x_{1}-x_{2} \\ 4 x_{1}+3 x_{3}\end{array}\right) \).

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{E}_{3}} \) von \( \varphi \), wobei \( \mathcal{E}_{n} \) jeweils die Standardbasis von \( \mathbb{R}^{n}, n=2,3 \) bezeichnet.
Geben Sie \( \left(A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{2,1} \) an.
\( \left(A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{2,1}= \)
Sei \( \mathcal{V}=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right) \). Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{V}} \) von \( \varphi \) und geben \( \operatorname{Sie}\left(A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{V}}\right)_{2,3} \) an.
\( \left(A_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{V}}\right)_{2,3}= \)

Answer 1

Aloha :)

$$\varphi(x)=\binom{2x_1-x_2}{4x_1+3x_3}=x_1\binom{2}{4}+x_2\binom{-1}{0}+x_3\binom{0}{3}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0\\4 & 0 & 3\end{array}\right)}_{\eqqcolon A^{E_3}_{E_2}}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Das Element in Zeile \(2\) und Spalte \(1\) lautet: \(\left(A^{E_3}_{E_2}\right)_{2;1}=4\)

Die Basis-Vektoren der Basis \(\nu\) sind bezüglich der Stantardbasis \(E_3\) angegeben. Wir kennen daher die Transformationsmatrix von \(\nu\) nach \(E_3\):$$\operatorname{id}_{E_3}^\nu=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Die Abbildungsmatrix, die Vektoren bezüglich der Basis \(\nu\) als Eingabeparameter erwartet können wir damit bestimmen:$$A^{\nu}_{E_2}=A^{E_3}_{E_2}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^\nu=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0\\4 & 0 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2\\4 & 0 & 7\end{array}\right)$$Das Element in Zeile \(2\) und Spalte \(3\) lautet: \(\left(A^{\nu}_{E_2}\right)_{2;3}=7\)

Answer 2

Hallo

die Spalten der gesuchten Matrix ist einfach das Bild der Basisvektoren, also 1. Spalte (1,0,0)->(2,4)  jetzt du die 2 nächsten spalten.

der 2 te Teil ist dann auch einfach.

Gruß lul