Aufgabe:
Definition 1. Ein Dedekind-Schnitt von \( \mathbb{Q} \) ist eine Teilmenge \( A \subset \mathbb{Q} \), so dass
- \( A \neq \emptyset, A \neq \mathbb{Q} \),
- \( A \) ist nach unten abschlossen: \( x \in A \wedge y \leq x \Rightarrow y \in A \)
- A hat kein Maximum: Für jedes \( x \in A \) existiert ein \( y \in A \) mit \( y>x \).
Für zwei Elemente \( A, B \in \mathcal{D} \) mit \( A, B \geq 0_{\mathcal{D}} \) definieren wir eine Multiplikation wie folgt:
\( A \cdot B:=\left\{a \cdot b \mid a \in A \backslash 0_{\mathcal{D}}, b \in B \backslash 0_{\mathcal{D}}\right\} \cup 0_{\mathcal{D}} \)
Das definiert eine Multiplikation für beliebige \( A, B \in \mathcal{D} \) wie folgt: wir setzen
\( A \cdot B=-((-A) \cdot B), \text { wenn } A<0_{\mathcal{D}}, \quad A \cdot B=-(A \cdot(-B)) \text {, wenn } B<0_{\mathcal{D}} \)
a) Zeigen Sie, dass \( \cdot \) kommutativ ist.
b) Zeigen Sie, dass \( 1_{\mathcal{D}}:=\{x \in \mathbb{Q} \mid x<1\} \) das neutrale Element der Multiplikation ist, und bestimmen sie das multiplikativ Inverse zu \( A>0_{\mathcal{D}} \).
c) Zeigen Sie für Elemente \( A, B, C \geq 0_{\mathcal{D}} \), dass
\( (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C), \quad(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C . \)
Problem/Ansatz:
Habe leider kein Plan wie ich es mache, kann wer bitte helfen