Zeigen Sie, dass · kommutativ ist.

Question

Aufgabe:

Definition 1. Ein Dedekind-Schnitt von \( \mathbb{Q} \) ist eine Teilmenge \( A \subset \mathbb{Q} \), so dass
- \( A \neq \emptyset, A \neq \mathbb{Q} \),
- \( A \) ist nach unten abschlossen: \( x \in A \wedge y \leq x \Rightarrow y \in A \)
- A hat kein Maximum: Für jedes \( x \in A \) existiert ein \( y \in A \) mit \( y>x \).

Für zwei Elemente \( A, B \in \mathcal{D} \) mit \( A, B \geq 0_{\mathcal{D}} \) definieren wir eine Multiplikation wie folgt:
\( A \cdot B:=\left\{a \cdot b \mid a \in A \backslash 0_{\mathcal{D}}, b \in B \backslash 0_{\mathcal{D}}\right\} \cup 0_{\mathcal{D}} \)
Das definiert eine Multiplikation für beliebige \( A, B \in \mathcal{D} \) wie folgt: wir setzen
\( A \cdot B=-((-A) \cdot B), \text { wenn } A<0_{\mathcal{D}}, \quad A \cdot B=-(A \cdot(-B)) \text {, wenn } B<0_{\mathcal{D}} \)
a) Zeigen Sie, dass \( \cdot \) kommutativ ist.
b) Zeigen Sie, dass \( 1_{\mathcal{D}}:=\{x \in \mathbb{Q} \mid x<1\} \) das neutrale Element der Multiplikation ist, und bestimmen sie das multiplikativ Inverse zu \( A>0_{\mathcal{D}} \).
c) Zeigen Sie für Elemente \( A, B, C \geq 0_{\mathcal{D}} \), dass
\( (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C), \quad(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C . \)

Problem/Ansatz:

Habe leider kein Plan wie ich es mache, kann wer bitte helfen

Answer 1

Hahaha mach grade dieselbe Aufgabe - TU Berlin?

Comments

ja haha habt ihr es irgendwie lósen kónnen?

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Also für (b) hab ich glaub ich ne antwort, weil es ähnlich zum tutorium war.

hab gezeigt, dass A eine teilmenge von A * 1_D ist und das A * 1_D eine teilmenge von A ist um zu zeigen, dass A = A * 1_D ist.

Also das ist mein text auf LaTeX:

Wir gehen davon aus, dass 1_D das neutrale Element der Multiplikation ist. Wenn das der Fall wäre, muss A · 1_D eine Teilmenge von A sein. Das gilt auch andersrum (A soll eine Teilmenge von A · 1_D sein).
Jetzt beweisen wir:
$$ 1. A \cdot 1_{\mathcal{D}} \subseteq A\\ $$
$$ 2. \; A \subseteq A \cdot 1_{\mathcal{D}} $$

\\
Sei x ∈ A · 1_D. Wir wissen, es gibt a ∈ A, y ∈ 1_D, sodass x = a · y. y ∈ 1_D ⇔ y < 1. Damit folgt x = a · y < a ∈ A. Aus der Definition 1.2 weiß man, dass A nach unten abgeschlossen ist: x ∈ A und y ≤ x ⇒ y ∈ A. Deswegen folgt x ∈ A. Da x bel., folgt dann A · 1_D ⊆ A.

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hast du ne idee für die anderen fragen?