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(18) Seien \( g \subseteq \mathbb{R}^{2} \) eine Gerade und \( C \subseteq \mathbb{R}^{2} \) ein Kreis mit dem Mittelpunkt \( M \in \mathbb{R}^{2} \). Weiter bezeichne \( F \) den Lotfußpunkt von \( M \) auf \( g \).
(a) Ist \( F \in \operatorname{Int}(C) \) so ist \( |C \cap g|=2 \), und schreiben wir \( C \cap g=\{A, B\} \), so ist \( F \) der Mittelpunkt der Strecke \( A B \) und es gilt \( \operatorname{Int}(C) \cap g=A B \backslash\{A, B\} \).
(b) Ist \( F \in C \), so sind \( C \cap g=\{F\} \) und \( \operatorname{Int}(C) \cap g=\emptyset \).
(c) Ist \( F \notin \operatorname{Int}(C) \cup C \), so ist \( (\operatorname{Int}(C) \cup C) \cap g=\emptyset \).
(19) Finden Sie jeweils nicht kollineare Punktetripel \( A, B, C \in \mathbb{R}^{2} \) und \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( |A B|=\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|,|A C|=\left|A^{\prime} C^{\prime}\right| \) und \( \angle(A B C)=\angle\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right) \) so, dass die beiden Dreiecke \( \triangle A B C \) und \( \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) nicht kongruent sind.
(20) Ist \( \Delta \) ein Dreieck mit den Ecken \( A, B, C \), so setzen wir
\( A^{\prime}:=\frac{1}{2}(B+C), B^{\prime}:=\frac{1}{2}(A+C), C^{\prime}:=\frac{1}{2}(A+B) \)
und nennen
\( \sigma_{a}:=\left|A A^{\prime}\right|, \sigma_{b}:=\left|B B^{\prime}\right|, \sigma_{c}:=\left|C C^{\prime}\right| \)
die Seitenhalbierenden von \( \triangle A B C \) in den Standardbezeichnungen.
(a) Sei \( \Delta \) ein Dreieck, das in den Standardbezeichnungen die Seiten \( a, b, c \) und die Seitenhalbierenden \( \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c} \) hat. Berechne \( \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c} \) in Termen von \( a, b, c \).
(b) Seien \( \Delta, \Delta^{\prime} \) Dreiecke, die in den Standardbezeichnungen die Ecken \( A, B, C \) und die Seitenhalbierenden \( \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c} \) und entsprechend für \( \Delta^{\prime} \) haben. Zeigen Sie, dass genau dann \( A B C \equiv A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) ist wenn \( \sigma_{a}=\sigma_{a}^{\prime}, \sigma_{b}=\sigma_{b}^{\prime} \) und \( \sigma_{c}=\sigma_{c}^{\prime} \) gelten.
(c) Seien \( \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c}>0 \). Zeigen Sie, dass es genau dann ein Dreieck mit den Seitenhalbierenden \( \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c} \) gibt wenn \( \sigma_{a}<\sigma_{b}+\sigma_{c}, \sigma_{b}<\sigma_{a}+\sigma_{c} \) und \( \sigma_{c}<\sigma_{a}+\sigma_{b} \) gelten.
