Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen MBB(f) und MCC(f)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Basen

B = ((1, 0, 0)^T,(0, 1, 0)^T,(0, 0, 1)^T ), C =(3, −1, 0)^T,(−1, −1, 1)^T,(−3, 2, −1)^T)

von R^3 sowie die R-lineare Abbildung

f : R^3 → R^3, (x1, x2, x3)^T → (−5x1 − 18x2 − 24x3, 4x1 + 13x2 + 16x3, −2x1 − 6x2 − 7x3)^T

(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen MBB(f) und MCC(f)

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen MBC(id) und MCB(id)

(c) Verifizieren Sie die Gleichung MCC(f) = MCB(id) · MBB(f) · MBC(id)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Darstellungsmatrizen bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Komponenten in der Abbildungsvorschrift sind auch bezüglich der Standardbasis \(B\) angeben. Daraus bestimmen wir die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis.$$f(x_1;x_2;x_3)=\left(\begin{array}{c}-5x_1-18x_2-24x_3\\4x_1+13x_2+16x_3\\-2x_1-6x_2-7x_3\end{array}\right)=\begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}-18\\13\\-6\end{pmatrix}x_2+\begin{pmatrix}-24\\16\\-7\end{pmatrix}x_3$$$$f(x_1;x_2;x_3)=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}-5 & -18 & -24\\4 & 13 & 16\\-2 & -6 & -7\end{array}\right)}_{=M_B^B(f)}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

Wir wenden diese Matrix auf die Basisvektoren aus \(C\) an:$$M_B^B(f)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!C}=M_B^B(f)\cdot\left(\begin{array}{r}3\\-1\\0\end{array}\right)_{\!\!B}=\left(\begin{array}{r}3\\-1\\0\end{array}\right)_{\!\!B}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!C}$$$$M_B^B(f)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!C}=M_B^B(f)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\-1\\1\end{array}\right)_{\!\!B}=\left(\begin{array}{r}-1\\-1\\1\end{array}\right)_{\!\!B}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!C}$$$$M_B^B(f)\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!C}=M_B^B(f)\cdot\left(\begin{array}{r}-3\\2\\-1\end{array}\right)_{\!\!B}=\left(\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right)_{\!\!B}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}_{\!\!C}$$Die Abbildungsmatrix \(M_C^C(f)\) besteht aus den Bildern der Basisvektoren von \(C\) in der Darstellung von \(C\):$$M_C^C(f)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)$$

zu b) Da die Vektoren der Basis \(C\) bezüglich der Standardbasis \(B\) angegeben sind, können wir die Übergangsmatrix von \(C\) nach \(B\) direkt angeben:$$M_B^C(\mathrm{id})=\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & -3\\-1 & -1 & 2\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$In die umgekehrte Richtung geht es mit der inversen Matrix:$$M_C^B(\mathrm{id})=\left(M_B^C(\mathrm{id})\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -4 & -5\\-1 & -3 & -3\\-1 & -3 & -4\end{array}\right)$$

zu c) Wir überprüfen die angegebene Formel:$$M_C^C(f)=M_C^B(\mathrm{id})\cdot M_B^B(f)\cdot M_B^C(\mathrm{id})$$$$\phantom{M_C^C(f)}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -4 & -5\\-1 & -3 & -3\\-1 & -3 & -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rrr}-5 & -18 & -24\\4 & 13 & 16\\-2 & -6 & -7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & -3\\-1 & -1 & 2\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$$$\phantom{M_C^C(f)}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)=M_C^C(f)\quad\checkmark$$

Answer 2

_Eid_B ={b1,b2,b3} beschreibt eine Basiswechselmatrix von B={b₁,b₂,b₃} in die Standardbasis E={e1,e2,e3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}T,
_Eid_B^-1 = _Bid_E   beschreibt eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis E nach B.

Allgemeine Schreibweisen: _nachid_von oder \(id_{von}^{nach}\)  auch id_von,nach

f:{−5x1 − 18x2 − 24x3, 4x1 + 13x2 + 16x3, −2x1 − 6x2 − 7x3}

\(\small \to \;_BM_B \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-5&-18&-24\\4&13&16\\-2&-6&-7\\\end{array}\right) \)

\(\small _Bid_C \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}3&-1&-3\\-1&-1&2\\0&1&-1\\\end{array}\right)\)

\(_{C}M_{C} =  _{C}id_{B} \cdot _{B}M_{B} \cdot _{B}id_{C} \)

bei dieser Schreibweise treffen immer die entsprechenden Basis Indizes aufeinander!