Aloha :)
Jede monotone beschränkte Folge konvergiert. Daher existiert der Grenzwert:$$d\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\lim\limits_{n\to\infty}d_{n+1}$$Wir rechnen ihn wie folgt aus:$$d_{n+1}=\sqrt{12+d_n}\quad\big|\text{quadrieren}$$$$d^2_{n+1}=12+d_n\quad\big|-d_n-12$$$$d^2_{n+1}-d_n-12=0\quad\big|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(d^2_{n+1}-d_n-12\right)=0\quad\big|\text{Grenzwert \(d\) einsetzen}$$$$d^2-d-12=0\quad|\text{Faktorisieren: \((-4)+3=-1\;\land\;(-4)\cdot3=-12\)}$$$$(d-4)(d+3)=0$$Wegen der Wurzelfunktion sind alle \((d_n)\) positiv, sodass nur die positive Lösung \((d=4)\) als Grenzwert in Betracht kommt, die negative Lösung \((-3)\) scheidet aus:$$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=4$$
