Beweisen dass Summe zweier Matrizen zu einer Menge gehören

Question

Aufgabe:

Es sei W ⊂ M(2,2) die Menge aller Matrizen der Form \( \begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \) wobei a und b im Bereich der reellen Zahlen sind

Es soll gezeigt werden dass die Summe und Produkte zweier beliebigen Matrizen aus W, wie ein Produkt aus W mit einem Skalar  wieder zu W gehören
Problem/Ansatz:

Was ist hier genau zu machen?

Answer 1

Summe:

\( \begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \)  \( \begin{pmatrix} -c & d \\ -d & -c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -a-c & b+d \\ -b-d & -a-c \end{pmatrix} \) q.e.d

Produkt:
\( \begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} -c & d \\ -d & -c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} ac-bd & -ad-bc \\ bc+ad & -bd+ac \end{pmatrix} \) q.e.d

Skalar:
c * \( \begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -ca & cb \\ -cb & -ca \end{pmatrix} \) q.e.d