Beweis, dass 2 Zahlen zu einer Menge gehören

Question

Es bezeichne S die Menge aller reellen Zahlen der Form a + bs,
wobei s := √2, und a und b rationale Zahlen seien, also:
S := {a + b√2 : a, b ∈ Q}.
Zeigen Sie:
(a) 1/√2 + 1/√72 ∈ S;
(b) sind a, b, c, d, e ∈ Q, so gilt a+bs+cs^2 +ds^3 +es^4 ∈ S, und a+bs+cs^2 +ds^3 +es^4 ∈ Q
genau dann, wenn b + 2d = 0.

Also bei b bin ich ganz verwirrt...aber für a habe ich die zwei zahlen addiert und bin auf 1/√2 + 1/√72 = (7√2)/12 gekommen. Am Anfang habe ich versucht a+b√2 = (7√2)/12 zu setzen. Aber dadurch komme ich auf keinen Ergebnis. Dann habe ich mir gedacht nun ja a kann nicht eine zahl die √2 enthält, da a ∈ Q. Also vermute ich, dass a = 0 ist. Stimmt es ?

Answer 1

(a) 1/√2 + 1/√72 ∈ S

 1/√2 + 1/(6√2) = (7/6)/√2=(mit √2 erweitern) (7/12)·√2.

a=0 und b=7/12

Comments

a+bs+cs^2 +ds^3 +es^4=a+b·√2+2c+2d·√2+4e=(a+2c+4e)+(b+2d)·√2