Beweisen Sie den Satz von Olivier

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie den Satz von Olivier:
Sei \( \left(a_{n}\right) \subset \mathbb{R} \geq 0 \) eine monoton fallende Nullfolge nicht-negativer reeller Zahlen und die zugehőrige Reihe \( S=\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) konvergiere. Dann ist die Folge \( \left(n \cdot a_{n}\right) \) eine Nullfolge.

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bei dieser Aufgabe behilflich sein?

Answer 1

Du weisst also, dass die Folge der Partialsummen konvergiert, nehmen wir an gegen \( c \in \mathbb{R} \), also
\(\begin{aligned} c=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \geqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}\end{aligned} \)
existiert. Kannst du den Beweis zuende führen?