Beweise mit Satz von CayleyHamilton folgende Aussage.

Question 1

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 Sei $ n \in \mathbb{N} $ und $ A $ eine invertierbare $ n \times n $-Matrix mit Einträgen aus $ \mathbb{K} $, wobei $ \mathrm{K} $ einer der Körper $ \mathbb{R}, \mathbb{Q} $ oder $ \mathrm{C} $ ist. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton die folgende Aussage: Es gibt (von $ A $ abhängige) Zahlen $ b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-1} \in \mathbb{K} $ mit denen
$ A^{-1}=b_{0}+b_{1} A^{1}+\cdots+b_{n-1} A^{n-1} $

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen Ansatz, hat wer eine Idee wie ich das beweise, hab Induktion versucht aber komme da auf nix.

Question 2

Wenn $p(t)$ das charakteristische Polynom von A ist, dann gilt laut Cayley-Hamilton ($O$ ist die $n\times n$-Nullmatrix):

$$O = p(A) = A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I$$

Da $a_0 = (-1)^n\det A \neq 0$, multiplizierst du diese Gleichung mit $A^{-1}$, dividierst durch $a_0$ und bringst $A^{-1}$ auf die andere Seite. Fertig.

Question 3

ah ok, danke :)

trancelocation · Answer 1 · 2023-06-11T14:48:07+0000

Wenn $p(t)$ das charakteristische Polynom von A ist, dann gilt laut Cayley-Hamilton ($O$ ist die $n\times n$-Nullmatrix):

$$O = p(A) = A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I$$

Da $a_0 = (-1)^n\det A \neq 0$, multiplizierst du diese Gleichung mit $A^{-1}$, dividierst durch $a_0$ und bringst $A^{-1}$ auf die andere Seite. Fertig.

Beweise mit Satz von CayleyHamilton folgende Aussage.

1 Antwort

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