Antwort mit KI erzeugt
Beweis:
Gegeben sei eine partielle Ordnung \((S; \leq)\) mit der Höhe \(h\). Dies bedeutet, dass die längste Kette in \(S\) genau \(h\) Elemente enthält. Eine Kette ist eine Teilmenge von \(S\), in der jedes Paar von Elementen vergleichbar ist. Eine Antikette ist hingegen eine Teilmenge von \(S\), in der kein Paar von Elementen vergleichbar ist.
Wir beweisen, dass der Algorithmus \(S\) in genau \(h\) Antiketten partitioniert, indem wir zeigen:
1. \(m \leq h\) und
2. \(h \leq m\),
wobei \(m\) die Anzahl der Antiketten in der Partition darstellt.
1. Beweis, dass \(m \leq h\):
Nehmen wir an, der Algorithmus partitioniert \(S\) in \(m\) Antiketten, also \(S = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_m\). Jeder \(A_i\) ist eine Antikette.
Da \(A_i\) eine Antikette ist, ist jedes Paar von Elementen in \(A_i\) nicht vergleichbar. Dies bedeutet, dass keine Kette innerhalb einer einzigen Antikette \(A_i\) länger als 1 sein kann. Da \(S\) insgesamt eine Höhe \(h\) hat, heißt es, dass die längste Kette in \(S\) höchstens \(h\) lang ist.
Wenn wir \(S\) in \(m\) Antiketten partitionieren und die längste Kette eine Länge von höchstens \(h\) hat, dann muss \(m\) mindestens so groß sein wie \(h\), um sicherzustellen, dass keine Antikette eine zu lange Kette enthält. Daher:
\( m \leq h \)
2. Beweis, dass \(h \leq m\):
Nehmen wir die längste Kette \(C\) in \(S\) an, die aus genau \(h\) Elementen besteht. Diese Kette muss vollständig durch die Partition \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) abgedeckt werden. Da keine zwei Elemente in einer Antikette vergleichbar sind, können keine zwei Elemente der Kette \(C\) in derselben Antikette liegen.
Daher muss jedes der \(h\) Elemente der Kette \(C\) in verschiedene Antiketten \(A_i\) verteilt werden. Dies bedeutet, dass wir mindestens \(h\) verschiedene Antiketten benötigen. Somit gilt:
\( h \leq m \)
Da sowohl \(m \leq h\) als auch \(h \leq m\) gelten, folgt:
\( m = h \)
Schlussfolgerung:
Der Algorithmus liefert somit eine Partition von \(S\) in genau \(h\) verschiedenen Antiketten.
