Konstruieren Sie zwei Kreise

Question

Gegeben seien drei verschiedene Punkte \( P_{1}, P_{2} \) und \( Q \).

a) Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal zwei Kreise \( k_{1} \) und \( k_{2} \) mit gleichem Radius, die sich in \( Q \) berühren. Dabei soll \( P_{1} \) auf \( k_{1} \) und \( P_{2} \) auf \( k_{2} \) liegen (Fertigen Sie eine exakte zeichnerische Darstellung an und beschreiben Sie die einzelnen Handlungs-/Konstruktionsschritte).

b) Für welche gegenseitige Lage von \( P_{1}, P_{2} \) und \( Q \) ist a) nicht lösbar?

Comments

Eine Antwort zu b) wäre noch interessant.

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Eine Antwort zu b) wäre noch interessant.

Du brauchst doch bloß zu gucken, an welcher Stelle die Konstruktion versagt und die Lösung des Ausnahme-Mathematikers zu betrachten.

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Trotz deiner Erklärung verstehe ich b) jedoch immernoch nicht ganz. :D

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Die Konstruktion versagt, wenn der Schnittpunkt zweier Geraden gebraucht wird, diese Geraden aber parallel verlaufen.

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Ahhh vielen Dank! <3

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Trotz deiner Erklärung verstehe ich b) jedoch immernoch nicht ganz.

Für die Konstruktion benötigt man den Schnittpunkt \(S\) der beiden Mittelsenkrechten (s. das Cindy-JS-Applet in meinem Kommentar). Verschiebe den Punkt \(Q\) mit der Maus derart, dass kein \(S\) mehr existiert. Wo liegt \(Q\) in diesem Fall?

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Danke, das ist sehr hilfreich! Habs verstanden. :)

Answer 1

So könnte die Lösung ausschauen:

Comments

Das ist die Ausnahme von der Ausnahme.

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Mach bitte auch eine Lösungsantwort!

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Sieht im Gegensatz zu deiner sehr speziellen Skizze im Allgemeinen so aus :

Konstruktionsbeschreibung kriegst du hoffentlich selbst hin.

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Vielen Dank!!! :)

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Danke sehr! :)

Answer 2

du hast gerade eine Sinnlos-Antwort als beste Antwort gekürt.

das macht nix ;-)

ich spendiere lieber noch ein Cindy-JS:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/2j90y3ef/15/

die Punkte \(P_1\), \(P_2\) und \(Q\) lassen sich verschieben.

Bem.: Der vorletzten Schritt der Konstruktion ist: \(|M_2R| = |SR|\)

Comments

Es würde auch Lösungen geben bei denen die beiden Radii nicht gleich lang sind, das wird aber in der Aufgabenstellung verlangt.

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Ich habe die Antwort als beste Antwort markiert, da ich wirklich sehr dankbar bin, dass jemand sich die Mühe gibt einer wildfremden Person zu helfen. Hierbei war es mir erstmal egal, ob die Antwort richtig oder falsch ist. Ich bin euch allen dankbar! Auch ganz lieben Dank an Werner-Salomon für die Grafik! :) Bin erst neu im Forum und finde es wirklich bemerkenswert, dass einem geholfen wird.

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Da in der Aufgabenstellung zwei Kreise mit gleichem Radius verlangt werden, sind "Lösungen" mit unterschiedlichen Radien auch keine Lösungen!

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Ich habe die Antwort als beste Antwort markiert, da ich wirklich sehr dankbar bin, ....

@Maxel: Du brauchst Dich dafür nicht zu entschuldigen, das ist schon ok. Der abakus passt hier im Forum immer auf, dass bloß keiner zu viele Punkte kassiert ;-)

Answer 3

Ich versuche mal etwas was nicht gefragt wird, nämlich die rechnerische Lösung.

P₁ = (p₁₁ | p₁₂)                Punkt auf Kreis 1                               )

P₂ = (p₂₁ | p₂₂)                Punkt auf Kreis 2                               )   gegeben

Q = (q₁ | q₂)                     Berührpunkt beider Kreise                )

M₁ = (m₁₁ | m₁₂)              Mittelpunkt von Kreis 1                       ]

M₂ = (m₂₁ | m₂₂)              Mittelpunkt von Kreis 2                       ]   gesucht

r₁ , r₂                                Radius von Kreis 1 und 2                   ]

\( | M_{1}P_{1} | + | M_{2}P_{2} | = | M_{1}M_{2} |\)                  Kreise berühren sich

\( | M_{1}Q | + | M_{2}Q | = | M_{1}M_{2} |\)                    Q liegt auf Verbindungsgerade der Mittelpunkte

\( | M_{1}P_{1} | = | M_{1}Q |\)                                       Berührpunkt Q liegt auf Kreis 1

\( | M_{2}P_{2} | = | M_{2}Q |\)                                       Berührpunkt Q liegt auf Kreis 2

\( | M_{1}Q | = | M_{2}Q |\)                                        beide Kreise haben gleiche Radii

\( \quad \Big\Updownarrow \)

\( \sqrt{(p_{11}-m_{11})^2+(p_{12}-m_{12})^2} + \sqrt{(p_{21}-m_{21})^2+(p_{22}-m_{22})^2} = \sqrt{(m_{21}-m_{11})^2+(m_{22}-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(q_{1}-m_{11})^2+(q_{2}-m_{12})^2} + \sqrt{(q_{1}-m_{21})^2+(q_{2}-m_{22})^2} = \sqrt{(m_{21}-m_{11})^2+(m_{22}-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(p_{11}-m_{11})^2+(p_{12}-m_{12})^2} = \sqrt{(q_{1}-m_{11})^2+(q_{2}-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(p_{21}-m_{21})^2+(p_{22}-m_{22})^2} = \sqrt{(q_{1}-m_{21})^2+(q_{2}-m_{22})^2} \)

\( \sqrt{(q_{1}-m_{11})^2+(q_{2}-m_{12})^2} =  \sqrt{(q_{1}-m_{21})^2+(q_{2}-m_{22})^2} \)

Beispiel:

P₁ = (3 | 5),   P₂ = (8 | 2),   Q = (7 | 7)

\( \sqrt{(3-m_{11})^2+(5-m_{12})^2} + \sqrt{(8-m_{21})^2+(2-m_{22})^2} = \sqrt{(m_{21}-m_{11})^2+(m_{22}-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(7-m_{11})^2+(7-m_{12})^2} + \sqrt{(7-m_{21})^2+(7-m_{22})^2} = \sqrt{(m_{21}-m_{11})^2+(m_{22}-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(3-m_{11})^2+(5-m_{12})^2} = \sqrt{(7-m_{11})^2+(7-m_{12})^2} \)

\( \sqrt{(8-m_{21})^2+(2-m_{22})^2} = \sqrt{(7-m_{21})^2+(7-m_{22})^2} \)

\( \sqrt{(7-m_{11})^2+(7-m_{12})^2} = \sqrt{(7-m_{21})^2+(7-m_{22})^2} \)

Lösung zum Beispiel:

M₁ = \(\displaystyle (\frac{39}{11} \enspace \large|\normalsize \enspace \frac{98}{11}) \),   M₂ = \(\displaystyle (\frac{115}{11} \enspace \large|\normalsize \enspace \frac{56}{11}) \),

r₁ = \( | M_{1}Q | \) = \(\displaystyle \frac{\sqrt{1885}}{11} \) ,    r₂ = \( | M_{2}Q | \) = \(\displaystyle \frac{\sqrt{1885}}{11} \)

k₁: (x - \( \frac{39}{11} \))² + (y - \( \frac{98}{11} \))² = \( \frac{1885}{121} \)

k₂: (x - \( \frac{115}{11} \))² + (y - \( \frac{56}{11} \))² = \( \frac{1885}{121} \)

Comments

Hallo döschwo,

Danke für den Hinweis! Ja man kann das auch rechnen. Fragt sich bei der vorgestellten Methode nur noch, wie man von den 5 Wurzelgleichungen mit 4 Unbekannten zu der Lösung kommt ....

Alternativ schlage ich folgendes vor:

Ist \(M_1\) bekannt, so ist \(M_2\) dessen Spiegelung an \(Q\); also \(M_2=2Q-M_1\). Sei der gemeinsame Radius \(r\), so ergibt sich für die Distanzen der Mittelpunkte zu den \(P_i\)$$(P_1-M_1)^2=r^2 \space \land (P_2-M_2)^2=r^2$$Gleich- und Einsetzen sowie etwas umstellen gibt dann$$\begin{aligned} (P_1-M_1)^2 &= (P_2 - 2Q + M_1)^2\\ P_1^2 - 2P_1M_1 + M_1^2 &= P_2^2 + 4Q^2 + M_1^2 - 4P_2Q + 2P_2M_1-4M_1Q \\ P_1^2-P_2^2 -4Q^2+4P_2Q &= (2P_2-4Q + 2P_1)M_1 \\ P_1^2 - (P_2-2Q)^2 &= 2(P_1 + (P_2-2Q))M_1\\ (P_1 - (P_2-2Q))(P_1 + (P_2-2Q)) &= 2(P_1 + (P_2-2Q))M_1\\ \end{aligned}$$und dies ist nichts anderes als eine Geradengleichung für die möglichen Positionen von \(M_1\) (der Unbekannten).

Weiter wissen wir, dass \(M_1\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(P_1Q\) liegen muss.$$(P_1-Q)M_1 = (P_1-Q)\cdot \frac12(P_1+Q)$$zusammen genommen gibt das ein LGS mit zwei Unbekannten - den Koordinaten von \(M_1\). Das ganze in Desmos gegossen sieht so aus:

https://www.desmos.com/calculator/sxvlwrk2gf

und das interessanteste kommt erst noch. Nämlich eine zweite völlig andere Konstruktion:

Der Mittelpunkt von \(P_1\) und \(P_2\) sei \(P_{12}\). Der Mittelpunkt von \(P_{12}\) und \(Q\) sei \(P_{12Q}\). \(M_1^*\) ist die Spiegelung von \(P_2\) an \(P_{12Q}\). Die Orthogonale zu \(P_1M_1^*\) durch \(M_1^*\) ist die grüne Gerade. \(M_1\) ist der Schnittpunkt dieser grünen Geraden mit der Mittelsenkrechten (blau gestrichelt) der Strecke \(P_1Q\).

Was es mit der grünen Geraden auf sich hat, möge sich der werte Leser selber überlegen.

Gruß Werner

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*daumenhoch* , danke...