Vektorgeometrie: Umformung von Darstellungsformen der Ebene (Parameterform in Koordinatenform)

Question

Aufgabe:

Vektorgeometrie: Frage zur Umformung von Darstellungsformen der Ebene

(Parameterform in Koordinatenform)

Problem/Ansatz:

Mir ist in der unten angegebenen Beschreibung unklar, wieso genau der Normalenvektor für die Koordinatenform von Nöten ist. Bei der Normalenform verstehe ich das Prinzip, dass man Punkte einer Ebene dort auch anhand dem Verhältnis eines Punktes zur Normalen (Vektorprodukt 0 oder nicht) auf ihre Lage in der Ebene untersuchen kann. Wieso aber auch in der Koordinatenform? Das leuchtet mir nicht ein.

Comments

Du kannst es auch auf diese Art versuchen:

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Ebenengleichung in Parameterform hast$$E\colon\;\vec x=\vec a+\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot\vec v$$und zusätzlich einen Normalenvektor \(\vec n\), der auf \(\vec u\) und \(\vec v\) senkrecht steht, kannst du die Koordinatenform der Ebenengleichung sofort hinschreiben, denn:$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot(\vec a+\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot\vec v)=\vec n\cdot\vec a+\lambda\cdot\underbrace{\vec n\cdot \vec u}_{=\vec 0}+\mu\cdot\underbrace{\vec n\cdot\vec v}_{=\vec 0}\quad\implies$$$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec a\;\implies\;\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\vec n\cdot\vec a\;\implies\; n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=\vec n\cdot\vec a$$Mit dem Normalenvektor hast du daher eine schnelle Methode zur Hand, um eine Ebenengleichung in Koordinatenform umzuwandeln. Es gibt aber natürlich noch andere Methoden.

Comments

Leider nicht folgen können, aber Danke für die Mühe. :)

Kann es mir jetzt ganz grob herleiten, das reicht mir.

Answer 2

Bei der Koordinatenform kann man wie der Name schon sagt die Schnitt-Koordinaten mit den Achsen durch den Normalenvektor ablesen.

Also ist der Normalenvektor (1/-1/1) und es resultiert zb eine Ebene E: x-y+z=3 weisst du, der Schnittpunkt mit den Achsen ist x:3, y:-3, z:3. beantwortet das die Frage?

Comments

Danke schonmal, aber ich habe leider noch immer nicht verstanden, wieso für die Berechnung der Schnitt-Koordinaten der Normalenvektor verwendet werden muss. Könnte man nicht auch durch die Parameterform die Schnittpunkt irgendwie bestimmen? Bitte das nochmal etwas näher erläutern, wie das abläuft mit dem Normalenvektor und der Bestimmung der Schnittkoordinaten, wie man sich das vorstellen muss.

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Er muss nicht verwendet werden.

Man kann das auch aus der Parameterform  bestimmen, indem mann die Gleichung x,y 0 setzt und z=z setzt und dann nach z auflöst (usw. mit den anderen Achsen). Aber aus der Koordinatenform kann man das leichter ablesen. Da man ja direkt die Schnittpunkte abliest - also man spart so Zeit

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Alles klar und wie genau erhalte ich mit dem Normalenvektor die Achsenschnittpunkte, wie muss ich mir das vorstellen?

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zb 2x+3z=1

Dann zerlegst du dir die Koordinatenform quasi in ihre Bestandteile. Also

2x=1

3z=1

löst sie nach x und z auf und bekommst

Schnittpkt mit x-Achse 1/2 und mit z Achse 1/3

Sx ist dann (0,5/0/0), Sy(0/0,333/0)

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Danke, das ist mir nun klar. Ich kann mir aber noch keine logische Erklärung in meinem Kopf liefern, wieso ich mit einem Normalenvektor einer Ebene die Schnittpunkte einer Ebene mit ihren Koordinatenachsen bestimme. Wie muss ich mir das denn vorstellen?

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Das hat sich eigentlich nichts mit dem normalenvektor als Ganzes zutun. Der Normalenvektor steht als ganzes einfach senkrecht auf der Ebene. Er existiert einfach :D

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Ich fürchte, ich habe oder hatte da einen gewaltigen Denkfehler.

Also, ich habe ja die Parameterform gegeben in Form von einem Stützvektor und 2 Ortsvektoren, die eine Ebene aufspannen. Die Koordinatenform soll mir nun die Schnitt-Koordinaten mit den Achsen liefern.

Wie man jetzt an diese Schnitt-Koordinaten mithilfe des Normalenvektors kommt, das verstehe ich nicht ... :/

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Aber du weisst wie man es aus der Koordinatenform abliest oder? Das habe ich ja oben erklärt.

Aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren kriegst du den Normalenvektor und mit die dabei raus kommenden Zahlen setzt du vor das x,y,z. Dann setzt du den Stützvektor ein und bekommst ein d. Und dann hast du die Koordinatenform und kannst den Schnittpunkt ablesen.

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Ja, die Theorie habe ich ja verstanden. Ging mir noch darum, dass ich das nicht auswendig lernen sondern auch verstehen mag, was dahinter steckt. Aber manchmal muss man sich wohl zufrieden geben, dass manche Sachen einfach so sind. ^^

Grüße

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Ja :D, das stimmt.