Aloha :)
Gegeben ist uns folgende Funktion \(F\) und ein Ankerpunkt \(\vec a\)$$F(x;y)=8x^2+4xy+10y\quad;\quad \vec a=\binom{6}{8}$$Das aktuelle Niveau ist:\(\quad F(\vec a)=560\)
zu a) Die momentane Änderungsrate erhalten wir mit dem totalen Differential \(dF\), das gleich Null sein muss, da sich das Niveau \(F(\vec a)=560\) ja nicht ändern soll:$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}(6;8)\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}(6;8)\,dy=(16x+4y)\big|_{(6;8)}\,dx+(4x+10)\big|_{(6;8)}\,dy$$$$0=128\,dx+34\,dy\implies128\,dx=-34\,dy\implies \boxed{dx=-\frac{17}{64}\,dy}$$Für \(dy=1\) erhalten wir \(dx=\boxed{-\frac{17}{64}}\)
zu b) Exakter Wert von \(x\), falls \(y=8-0,45=7,55\) gilt.$$560=8x^2+4x\cdot7,55+10\cdot7,55\quad\big|\text{alles auf eine Seite bringen}$$$$8x^2+30,2x-484,5=0\quad\big|\colon8$$$$x^2+3,775x-60,5625=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$x=-1,8875\pm\sqrt{1,8875^2+60,5625}\approx\left\{\begin{array}{r}+6,120318\\-9,895318\end{array}\right.$$Hier kommt nur die positive Lösung in Betracht, also: \(\quad x\approx6,120318\)
Die gesuchte exakte Änderung ist daher:\(\quad\Delta x\approx6,120318-6=\boxed{0,120318}\)
zu c) Hier müssen wir nur in das Ergebnis aus a) einsetzen:$$dx=-\frac{17}{64}\cdot(-0,45)=\boxed{0,119531}$$
