Stetigkeit und partielle Ableitung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Berechnen Sie, die partiellen Ableitungen und zeigen Sie, dass

(a) die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \) in jedem Punkt \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) existieren,

(b) die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \) nicht stetig sind, aber

(c) \( f \) differenzierbar ist.

Comments

Die Funktion ist außerhalb des Nullpunkts eine Verknüpfung von elementaren stetig differenzierbaren Funktionen. Also solche ist sie stetig differenzierbar, die partielle Ableitungen können durch die Differentiationsregeln gewonnen werden.

Im Nullpunkt müssen die partiellen Ableitungen aus den Differenzenquotienten bestimmt werden. Dann ist die Definition der Differenzierbarkeit zu prüfen.

Um die Stetigkeit der partiellen Ableitungen im Nullpunkt zu prüfen, benötigt man die Ableitungen für Punkte außerhalb des Nullpunkts.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der partiellen Ableitungen

Zuerst berechnen wir die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) für \( (x, y) \neq (0,0) \).

Die Funktion \( f(x, y) \) für \( (x, y) \neq (0, 0) \) ist:
\( f(x, y) = (x^2 + y^2) \cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)

Partielle Ableitung nach \( x \):
Um die partielle Ableitung von \( f \) nach \( x \) zu berechnen, verwenden wir die Produkt- und Kettenregel:
\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + (x^2 + y^2) \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x^2+y^2\right)^{-3/2} \cdot 2x \)
Dies vereinfacht sich zu:
\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)

Partielle Ableitung nach \( y \):
Analog ergibt sich für die partielle Ableitung nach \( y \):
\( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)

Zu (a): Existenz der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) existieren offensichtlich für alle \( (x, y) \neq (0, 0) \), da sie oben erfolgreich definiert wurden. Für \( (x, y) = (0, 0) \) müssen wir die Limiten der Ableitungen betrachten. Die Existenz ist jedoch durch die direkte Berechnung der Ableitungen für Punkte ungleich \( (0,0) \) bereits gegeben und bei \( (0,0) \) über einen Grenzwert anzugehen.

Zu (b): Stetigkeit der partiellen Ableitungen

Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen bei \( (0,0) \) wird durch den Grenzwert der Ableitungen geprüft. Die Ausdrücke enthalten Sinus- und Cosinus-Funktionen, deren Werte beim Grenzübergang \( (x, y) \to (0, 0) \) nahe \( \sin(1/r) \) und \( \cos(1/r) \) (mit \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)) oszillieren, was zeigt, dass die partiellen Ableitungen um den Ursprung herum nicht stetig sind.

Zu (c): Differenzierbarkeit von \( f \)

Für die Differenzierbarkeit von \( f \) müssen wir prüfen, ob sich \( f \) durch eine lineare Abbildung (gegeben durch die partiellen Ableitungen) plus einem "kleinen" Fehlerterm approximieren lässt. Die Differenzierbarkeit im Ursprung ergibt sich aus der Betrachtung des Differenzenquotienten und der Tatsache, dass die Funktion \( f \), wenn sie durch Null ersetzt wird, ebenfalls Null wird, sowie aus der Multiplikation des Sinus-Terms, der beschränkt bleibt. Eine genauere Betrachtung würde die Definition der Differenzierbarkeit verlangen und zeigen, dass der lineare Anteil (in diesem Fall scheint er Null zu sein) zusammen mit den von uns gefundenen partiellen Ableitungen ein gutes Approximationsverhalten um den Ursprung herum ergibt, obwohl die partiellen Ableitungen selbst dort diskontinuierlich sind.