Hallo,
\(f\) ist stetig. Unter der Annahme, dass \(X\) kompakt ist und \(f\) bijektiv ist, muss gezeigt werden, dass \(f\) ein Homömorphismus ist. Das heißt konkret, dass die Stetigkeit der Umkehrabbildung \(g: Y\to X\) gezeigt werden muss.
Sei dazu \(y\in Y\) und \((y_n)_n\subset Y\) eine Folge mit \(y_n\xrightarrow{n\to \infty} y\). Wir müssen dann zeigen, dass \((x_n)_n\) mit \(x_n:=g(y_n)\) gegen \(x:=g(y)\) konvergiert. (Folgenstetigkeit)
Das geht per Reductio ad absurdum gut: Nehmen wir an, das wäre nicht so. Dann liegen für (hinreichend) kleines \(\varepsilon >0\) unendlich viele Gleider von \((x_n)_n\) außerhalb \(U_{\varepsilon}(x)\). D. h., dass \((x_n)_n\) eine Teilfolge besitzt, die außerhalb von \((U_\varepsilon(x)\) verläuft. Diese Teilfolge besitzt wegen der (Folgen-)kompaktheit von \(X\) eine konvergente Teilfolge \((x_{n_k})_k\), es gibt also ein Element \(\hat{x}\in X\), so dass \(\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=\hat{x}\).
Andererseits gilt:$$\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=\lim\limits_{k\to\infty}y_{n_k}=y=f(x)$$ Wegen \(\hat{x}\notin U_{\varepsilon}(x)\), sprich \(\hat{x}\neq x\) widerspricht das der Stetigkeit von \(f\). Es gilt folglich:$$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}g(y_n)=g(y)$$ Die Umkehrfunktion \(g\) ist also (folgen)-stetig (was äquivalent zur Stetigkeit ist).
