Beweisaufgabe zur Kompaktheit

Question

Bekomme diese Aufgabe einfach nicht gebacken. Bitte um Hilfe.

Text erkannt:

Sei \( (X, \mathrm{~d}) \) ein metrischer Raum. Den Abstand zweier nichtleerer Teilmengen \( A, B \subseteq X \) definieren wir durch
\( \operatorname{dist}(A, B):=\inf _{a \in A, b \in B} \mathrm{~d}(a, b) . \)
(i) Seien \( A \) kompakt, \( B \) abgeschlossen in \( X \) und \( A \cap B=\emptyset \). Zeigen Sie, \( \operatorname{dass} \operatorname{dist}(A, B)> \) 0 gilt.
(ii) Seien nun \( A, B \) abgeschlossen in \( X, A \cap B=\emptyset(A \) aber nicht notwendigerweise kompakt). Gilt dann immer noch stets \( \operatorname{dist}(A, B)>0 \) ? Beweisen oder wiederlegen Sie.

Answer 1

Zu (ii):

Sei

\(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; xy=1\}\)

und

\(B=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2: \; x\in\mathbb{R}\}\).

Dann gilt \(A\cap B=\emptyset\) und \(\operatorname{Dist}(A,B)=0\).

Answer 2

Korrigierte Fassung nach Kommentaren

Zu (i)

Weil \(X \setminus B\) offen ist, existiert zu jedeme \(a \in A\) ein \(\delta(a)>0\), so dass die offene Kugel \(B(a,2\delta(a))\) ganz in \(X \setminus B\) liegt. Die Kugeln \(B(a,\delta(a))\) bilden eine offene Überdeckung von A, wir wählen eine endliche Teilüberdeckung mit den Mittelpunkten \(a_1, \ldots, a_n\). Dann gilt:

$$\forall a \in A, b \in B: d(a,b) \geq \min\{\delta(a_1), \ldots, \delta(a_n)\}$$

Denn: Sei \(a \in A\), dann gilt für ein k: \(a \in B(a_k,\delta(a_k))\). Daher gilt fü \(x \in B(a,\delta(a_k))\) wegen der Dreiecks-Ungleichung \(d(a_k,x) < 2\delta(a_k)\). D.h. \(B(a,\delta(a_k)) \cap B=\emptyset\)

Gruß Mathhilf

Comments

warum liegt die gesamte offene Kugel in A, selbst wenn a ein Randpunkt ist?

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Entschuldigung, das war ein Fehler. Es sollte heißen: .. liegt im Komplement von B (das ja offen ist)

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ah natürlich, da verwendet man dann auch die Abgeschlossenheit von B, das ist wirklich gewitzt :D

Danke dir

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moment, was ist mit A = [0,2], B = [3,4] dann ist B(0,2.5) eine offene Überdeckung von A, aber dist(A,B)<1.25, nicht?

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Ich fürchte, Du hast recht. Der Beweis ist falsch.

Ich habe noch eine andere Idee mit Folgen, habe aber jetzt keine Zeit.

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Hier wurde im Prinzip die gleiche Frage gestellt:

https://www.mathelounge.de/941275/zeige-0-mit-d-x-y-fur-alle-x-k-und-y-a

(Der Beweis dort ist mit Folgen)

Tatsächlich glaube ich, dass dein Beweis bis auf eine Kleinigkeit auch richtig ist.

Wenn man die Kugeln wie oben mit Radius \(2\delta(a)\) wählt, die Überdeckung aber nur mit den Kugeln vom Radius \(\delta(a)\) macht und dann das Minimum wählt, wie bei dir oben, sollte alles stimmen.

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Jetzt habe ich moch überrumpelt lassen. Ich habe ja extra die Kugel mit Radius 2 delta angesetzt und dann die mit Radius delta für die Überdecken genommen. In Deinem Beispiel: B(0,3) liegt im Komplement von B. Für die Überdecken nehme ich nur B(0,1.5), muss diese also noch ergänzen..

Jetzt sehe ich auch, dass ich das gar nicht gesagt habe. Ohje, habe nur die Hälfte des nötigen aufgeschrieben. Tut mir leid

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Dojima war schneller, danke für die Bestätigung

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@Mathhilf

B(0,1.5) ist doch auch keine Überdeckung von A, oder du meinst wahrscheinlich etwas anderes.

ich bin auch auf das Teilfolgenargument gekommen, wie im anderen Beitrag und was du wahrscheinlich auch vorhin meintest

aber bin auch an deiner Idee interessiert, weil Heine-Borel zu verwenden ist immer nice

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Hallo

ich habe versucht, meine Antwort durch eine korrigierte Fassung zu ersetzen. Hoffentlich habe ich es jetzt nicht verschlimmbessert.

Gruß Mathhilf