Untersuchen Sie, ob ([0,1],|\cdot|) und (\mathbb{R},|\cdot|) zueinander homöomorph sind.

Question 1

Untersuchen Sie, ob \( ([0,1],|\cdot|) \) und \( (\mathbb{R},|\cdot|) \) zueinander homöomorph sind.

Question 2

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen

Abbildung ist kompakt. \([0,1]\) ist kompakt. Daher ist das Bild ebenfalls kompakt.

Da \(\mathbb{R}\) aber nicht kompakt ist, kann es keine

surjektive stetige Abbildung \([0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) geben,

also erst recht keinen Homöomorphismus.

ermanus · Answer 1 · 2022-06-02T12:13:06+0000

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen

Abbildung ist kompakt. \([0,1]\) ist kompakt. Daher ist das Bild ebenfalls kompakt.

Da \(\mathbb{R}\) aber nicht kompakt ist, kann es keine

surjektive stetige Abbildung \([0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) geben,

also erst recht keinen Homöomorphismus.

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