Differenzierbarkeit von Funktion mit x im Nenner

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass die f:R->R stetig und differenzierbar ist und geben sie die erste Ableitung an

$$f(x)=0$$    für x=0

$$f(x)=x^2 \cdot sin(\frac {1}{x})$$     für alle anderen x Werte

Problem/Ansatz:

Das Einsetzen von x=0 in die Ableitung $$-cos(\frac {1}{x})+2x \cdot sin(\frac {1}{x})$$

wird leider dadurch verhindert, dass ich nicht weiß was ich mit 1/x machen soll.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2\sin\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]0 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$

Zur Vorbereitung betrachten wir:$$\left|\sin\frac1x\right|\le1\implies\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\implies-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|\implies$$$$0=\lim\limits_{x\to0}(-|x|)\le\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)\le\lim\limits_{x\to0}|x|=0\implies\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=0$$

Nun zeigen wir, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)\stackrel{(\text{s.o.})}{=}0$$

Der Grenzwert an der Stelle \(0\) existiert und ist gleich \(0\), also ist \(f'(0)=0\).

Comments

Danke für die sehr ausführliche Antwort. Kannst du mir vielleicht noh sagen welchen Satz / Regeln du für die "Vorbereitung" verwendet hast, damit ich das besser verstehe?

Noch eine zweite Frage: könnte man die Aufgabe auch durch eine Substitution von 1/x mit $$2 \pi n$$ lösen?

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Zur Vorbereitung habe ich das "Sandwich-Theorem" bzw. den "Einschnürungssaz" verwendet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

Die Substitution von \(\frac1x\) durch \((2\pi n)\) erscheint mir sinnfrei, denn \(\frac1x\) geht für \(x\to0\) gegen \(\infty\), aber für \((2\pi n)\) ist der Sinus stets \(0\). Das passt nicht recht zusammen.

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Super, danke. Das habe ich gesucht.

Nur aus Interesse: Gibt es vielleicht eine Reihe mit der man das ganze lösen könnte, um zb. auch noch zu zeigen, dass die Ableitung stetig ist?

Answer 2

f (x ) = x^2 * sin(1/x)

lim x -> 0
1/x = ∞
sin(∞) = nicht definiert osziliert aber zwischen -1 und + 1

lim x -> 0  [x^2] = 0

0 mal (-1 .. +1 ) = 0

f ( 0 ) ist angegeben mit 0

Damit ist die Funktion f ( x ) für null stetig