Aufgabe:
Sei f: R → R eine stetige Funktion. Beweisen Sie, dass die Menge
N:= {x ∈ R | f(x) = 0}
abgeschlossen ist.
Hinweis: Beweisen Sie zunächst, dass die Menge {0} ⊂ R abgeschlossen ist. Was bringt Ihnen das?
Problem/Ansatz:
Das ist meine Lösung. Ist das richtig? Wenn nicht, können Sie mir bitte helfen?
Text erkannt:
gegeben: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist sterge Funktion \( N=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=0\} \) ist abgeschlossen.
Beweis:
1. Fall: wenn \( N \) ene Endliche Merye ist
\( \Rightarrow N \) ist abgexchlossen, weil jede endiche Menge abgexchlossen ist.
2. Fall: wenn \( N \) nicht endlich ist, dann ist \( N \) unendich.
Se \( N=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=0\} \) unendlich
se \( L \) limes von \( N \).
\( \begin{array}{c} \Rightarrow\left\langle a_{n}\right\rangle, \quad a_{n} \in \mathbb{N} \\ \lim a_{n}=L . \end{array} \)
\( f\left(a_{n}\right)=0 \), weil \( \forall n \in N \quad f\left(a_{n}\right)=0 \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow f\left(a_{n}\right)=f(L)=0 \\ \Rightarrow f(L)=0 \end{array} \)
\( \Rightarrow L \in N \), durch Eigenschatt von \( N \)
daher alle lim von \( N \) gehirt an N
\( \Rightarrow N \) ist abgeschlossen
