Ungleichung ist zu zeigen

Question

Aufgabe:

a^{4} c^{2}+a^{2} b^{4}+b^{2} c^{4}

 >= b^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} b^{2}

Nebenbedingung:

a,b,c nicht negative reele Zahlen

a+b+c=3

Die Ungleichung ist zu zeigen.
Danke im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Das kann man nicht zeigen, weil es falsch ist, dazu betrachte betrachte folgende Äquivalenzumformungen:$$a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2$$$$a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4-b^2c^2-a^2c^2-a^2b^2\ge0$$$$(a^4c^2-a^2c^2)+(a^2b^4-a^2b^2)+(b^2c^4-b^2c^2)\ge0$$$$a^2c^2(a^2-1)+a^2b^2(b^2-1)+b^2c^2(c^2-1)\ge0$$

Da \(a,b,c\) nicht-negative reelle Zahlen mit \(a+b+c=3\) sein sollen, wähle ich$$a=0\quad;\quad b=\frac52\quad;\quad c=\frac12$$und erhalte als Ungleichung:$$0+0+\frac{25}{4}\cdot\frac14\cdot\left(\frac14-1\right)\ge0\quad\text{Widerspruch}$$

Answer 2

Betrachte die Fälle (o.B.d.A.)

a=b=c=1

a>1≥b≥c

a≥b>1>c

Comments

Warum soll er diese Fälle betrachten? Wie darauf kommen?

Laut Angabe gilt: a+b+c = 3

Warum soll das plötzlich 1 sein?

Soll das eine Hinführung zum Problem sein? Wenn ja, warum?

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Laut Angabe gilt: a+b+c = 3

Warum soll das plötzlich 1 sein?

Habe ich nicht behauptet, aber Lesekompetenz war noch nie dein Ding.

PS: Beispielsweise folgt aus meinem ersten vorgeschlagenen Fall

a=b=c=1

doch tatsächlich, dass a+b+c dann 3 wäre.

Soll das eine Hinführung zum Problem sein?

Eigentlich schon. Diese Frage verwundert mich aber von jemandem, der hier schon über 80000 Punkte eingefahren hat.