Partialbruchzerlegung bestimmen (komplexe NS)

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen!

Ich muss hier die Partialbruchzerlegung bestimmen. Habe auch angefangen zu rechnen, aber kam leider nicht weiter. Könnt ihr mir erklären wie ich hier genau vorgehen muss.

Unten steht auch mein Ansatz

Problem/Ansatz:

i) \( \begin{aligned} & \frac{x+1}{x^{2}+4} \\& \frac{A x+B}{x^{2}+4} \\ & x+1=A x+B \end{aligned} \)

Answer 1

Aloha :)

0) Das Problem ist die Partialbruchzerlegung von$$f(x)=\frac{x+1}{x^2+4}$$

1) Faktorisiere den Nenner. Das geht hier nur in \(\mathbb C\):$$x^2+4=x^2-4i^2=x^2-(2i)^2=(x-2i)\cdot(x+2i)$$

2) Formuliere den Ansatz für die Partialbrüche:$$\frac{x+1}{x^2+4}=\frac{A}{x-2i}+\frac{B}{x+2i}$$

3) Multipliziere beiden Seiten der Gleichung mit der Faktorzerlegung aus (1):$$x+1=A\cdot(x+2i)+B\cdot(x-2i)$$

4) Bestimme die Zähler \(A\) und \(B\):

Für \(x=2i\) fällt der \(B\)-Term weg und die Gleichung lautet:$$2i+1=A\cdot(2i+2i)=A\cdot4i\implies A=\frac{2i+1}{4i}=\frac{2i}{4i}+\frac{1}{4i}=\frac12-\frac i4$$Für \(x=-2i)\) fällt der \(A\)-Term weg:$$-2i+1=B(-2i-2i)=B\cdot(-4i)\implies B=\frac{-2i+1}{-4i}=\frac{-2i}{-4i}+\frac{1}{-4i}=\frac12+\frac i4$$

5) Zusammenfassung:$$f(x)=\frac{x+1}{x^2+4}=\frac{\frac12-\frac i4}{x-2i}+\frac{\frac12+\frac i4}{x+2i}$$

Noch eine Frage:

Falls du hier die Partialbruchzerlegung als Integrationsmethode verwenden möchtest, brauchst du das eigentlich nicht, weil das Integral in zwei Standard-Integrale zerfällt:$$\int\frac{x+1}{x^2+4}\,dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+4}\,dx+\frac12\int\frac{\frac12}{\left(\frac x2\right)^2+1}\,dx=\frac12\ln(x^2+4)+\frac12\arctan\frac x2+C$$

Comments

Vielen lieben Dank Tschakabumba! Ich rechne alle schritte mal nach und melde mich bei Fragen.

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Ich greife hier wieder zurück. Ist zwar schon eine Weile her, aber ich rechne nun alle Aufgaben erneut durch und im Nachhinein sind wieder Fragen aufgetaucht.

Kann ich hier auch 1/4 arctan(x/2) hinschreiben? Also so:

\( \frac{1}{x^2+4} \) = \( \frac{1}{4} \) · \( \frac{1}{(\frac{x}{2})^{2}+1} \) = \( \frac{1}{4} \) arctan(\( \frac{x}{2} \))

Denn so macht das für mich irgendwie mehr Sinn..

Ich kann nicht nachvollziehen warum der vorfaktor 1/2, es ist doch eigentlich 1/4?

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Vorsicht, hier spielt auch noch die innere Ableitung mit:$$\left(\frac14\arctan\left(\frac x2\right)\right)'=\underbrace{\frac14\cdot\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac12}_{=\text{innere Abl.}}=\frac18\,\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}$$

Das Standard-Integral lautet:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)$$In deiner Funktion steht aber nicht \(x\), sondern \(\frac x2\). Wenn du das Standard-Integral anwenden möchtest, müsstest du zuvor \(u=\frac x2\) substituieren.

Oder du integrierst direkt nach \((\frac x2)\):$$\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,dx=2\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,\underbrace{\frac12dx}_{=d\left(\frac x2\right)}=2\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,d\left(\frac x2\right)$$$$=2\arctan\left(\frac x2\right)$$Jetzt siehst du, wo der Faktor \(2\) herkommt.

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Achsooo, stimmt, danke. Ich dachte die Substitution muss ich gar nicht machen.

Also ich hab‘s jetzt erneut ausgerechnet mit Hilfe der Substitution und komme nun auf denselben Wert. Passt das so?

\( \begin{array}{l}\text { j) } \frac{x+1}{x^{2}+4}=\frac{A x+8}{x^{2}+4}=\frac{x+1}{x^{2}+4} \\ x+1=A x+B \\ x=0 \Rightarrow 1=B \\ x-1 \Rightarrow 2=A+1 \\ A=1 \\ \int \frac{x+1}{x^{2}+4} d x=\int \frac{x}{x^{2}+4} d x+\int \frac{10}{x^{2}+4} \\ \int \frac{x}{x^{2}+4}=\int \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2}+4} d x=\underline{\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+4\right|} \\ \int \frac{1}{x^{2}+4} d x=\int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+1} d x= \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u^{2}+1} 2 d u=\frac{2}{4} \int \frac{1}{u^{2}+1} d u= \\ =\frac{1}{2} \cdot \arctan (u)=\frac{\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)}{} \\ u=\frac{x}{2} \\ \frac{d u}{d x}=\frac{1}{2} \\ d u=\frac{1}{2} d x \\ d x=2 d u \\\end{array} \)

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Das wäre die ausführliche Rechnung mit Substitution.

Answer 2

Verwende x^2 + 4 = (x+2i)(x-2i) .

==>  \( \frac{x+1}{x^{2}+4}  =  \frac{x+1}{(x+2i)(x-2i)} \)

Und den Ansatz

\( \frac{A}{x+2i}  +  \frac{B}{x-2i} = \frac{x+1}{x^{2}+4}  \)

Gibt

\( \frac{0,5+0,25i}{x+2i}  +    \frac{0,5-0,25i}{x-2i} =    \frac{x+1}{x^{2}+4} \)

Comments

Danke dir Mathef! Ich schau mir das ganze erneut an.