Berechne Erwartungswert E(N) und Varianz V(N).

Question

Aufgabe:

Nach Drehen des abgebildeten Glücksrades (2 gleichgroße Felder 1 & 2 mit je Wahrscheinlichkeit 0,5), erhält man den Betrag ausgezahlt, der am Rand des ausgewählten Sektors steht. Das Glücksrad wird so oft gedreht, bis die Summe der ausgezahlten Beiträge mindestens 4 Euro beträgt. N ist die Anzahl der dazu nötigen Drehungen. Berechne Erwartungswert E(N) und Varianz V(N).

Problem/Ansatz:

Wieso kann man nicht einfach E(x) von einer Drehung ausrechnen (=1,5) und dann mal drei nehmen, sodass 4 überschritten werden? Ist das zu ungenau?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Um mindestens 4 Euro zu erzielen, sind maximal 4 Versuche nötig.

Anzahl Drehungen n :

n=2 im Fall 2+2+x+x (4 Möglichkeiten)
n=4 im Fall 1+1+1+x (2 Möglichkeiten)
n=3 sonst (16-6 = 10 Möglichkeiten)

E(N) = 2*4/16 + 3*10/16 + 4*2/16  = 23/8 = 2.875

VAR(N) = (2 - 23/8)^2 + (3 - 23/8)^2 + (4 - 23/8)^2 * 1/(3-1) = 181/128 ~ 1.414

Bermerkung: oft wird die Varianz auch mit 1/n (dann 1/3) multipliziert.

Answer 2

Beispiel 1. Auf dem Glücksrad stehen die Zahlen 4 (mit Warhscheinlichkeit 3/8) und 0 (mit Wahrscheinlichkeit 5/8). Dann ist der Erwartungswert für den ausgezahlen Betrag pro Drehung ebenfalls 1,5.

Beispiel 2. Auf dem Glücksrad stehen die Zahlen 5 (mit Wahrscheinlichkeit 3/10) und 0 (mit Wahrscheinlichkeit 7/10). Dann ist der Erwartungswert für den ausgezahlen Betrag pro Drehung ebenfalls 1,5.

Das Glücksrad wird so oft gedreht, bis die Summe der ausgezahlten Beiträge mindestens 4 Euro beträgt.

Offensichtlich ist der Erwartungswert für die Anzahl der Drehungen in Beispiel 1 kleiner als in Beispiel 2.

Der Erwartungswert für die Anzahl der Drehungen hängt also nicht nur vom Erwartungswert für den ausgezahlen Betrag pro Drehung ab, sondern auch von der Verteilung der Zahlen auf dem Glücksrad.

Wieso kann man nicht einfach E(x) von einer Drehung ausrechnen (=1,5) und dann mal drei nehmen, sodass 4 überschritten werden?

Weil bei dieser Berechnung nur der Erwartungswert für den ausgezahlen Betrag pro Drehung einbezogen wurde, und nicht die Verteilung der Zahlen auf dem Glücksrad.