Berechnen Sie \operatorname{det}(J_{\Phi}(r, \varphi, \vartheta)) für alle (r, \varphi, \vartheta) ∈ ℝ^{3} .

Question

Aufgabe:

Sei \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)

\( \Phi(r, \varphi, \vartheta)=\left(\begin{array}{c} r \cos (\varphi) \cos (\vartheta) \\ r \sin (\varphi) \cos (\vartheta) \\ r \sin (\vartheta) \end{array}\right) \)

die Kugelkoordinatenabbildung. Berechnen Sie \( \operatorname{det}\left(J_{\Phi}(r, \varphi, \vartheta)\right) \) für alle \( (r, \varphi, \vartheta) \in \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{ccc}\cos\varphi\cos\vartheta & -r\sin\varphi\cos\vartheta & -r\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\cos\vartheta & r\cos\varphi\cos\vartheta & -r\sin\varphi\sin\vartheta\\\sin\vartheta & 0 & r\cos\vartheta\end{array}\right|$$Bei einer Determinante kann man aus einer Zeile oder einer Spalte gleiche Faktoren vor die Determinante ziehen. Aus der mittleren Spalte ziehen wir \((r\cos\vartheta)\) und aus der rechten Spalte \(r\):

$$=r^2\cos\vartheta\left|\begin{array}{ccc}\cos\varphi\cos\vartheta & -\sin\varphi & -\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\cos\vartheta & \cos\varphi & -\sin\varphi\sin\vartheta\\\sin\vartheta & 0 & \cos\vartheta\end{array}\right|$$Nun entwickeln wir die Determinante nach der letzten Zeile:

$$=r^2\cos\vartheta\left(\sin\vartheta(\sin^2\varphi\sin\vartheta+\cos^2\varphi\sin\vartheta)+\cos\vartheta(\cos^2\varphi\cos\vartheta+\sin^2\varphi\cos\vartheta)\right)$$$$=r^2\cos\vartheta\left(\sin^2\vartheta\underbrace{(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}_{=1}+\cos^2\vartheta\underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}\right)$$$$=r^2\cos\vartheta\,\underbrace{(\sin^2\vartheta+cos^2\vartheta)}_{=1}$$$$=r^2\cos\vartheta$$