Sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \). Betrachten Sie die Abbildung
\( \Phi_{A}: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \Phi_{A}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{y} .\)
i) Zeigen Sie, dass \( \Phi_{A} \) eine Bilinearform ist. Für welche \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist \( \Phi_{A} \) alternierend?
ii) Sei nun \( \varphi: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Bilinearform. Zeigen Sie, dass eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) mit \( \Phi_{A}=\varphi \) existiert.
iii) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums \( { }^{1} \) aller Bilinearformen auf \( \mathbb{R}^{n} \).
