Berechne den Erwartungswert der folgenden Zufallsvariablen:

Question

Aufgabe: Ein Würfel wird zweimal geworfen. X ist die erste und Y die zweite geworfene Augenzahl. Berechne den Erwartungswert der folgenden Zufallsvariablen:

a) X • Y

b) X - Y

c) |X - Y|

d) Maximum von X, Y

Wie berechne ich das?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es gibt zwar Teilweise einfachere Berechnungsformeln aber schreibe doch zunächst mal eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und berechne den Erwartungswert aufgrund der Verteilung.

Comments

Könntest du mir zeigen wie ich die wahrscheinlichkeitsverteilung bei a berechnen kann

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Tschakabumba hat dir schon eine abschreibfertige Antwort geliefert.

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{c|rrrrrr} X\cdot Y& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18\\4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24\\5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30\\6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36\end{array}$$Die Summe aller \(36\) Werte beträgt \(441\). Daher ist \(E(X\cdot Y)=\frac{441}{36}=\frac{49}{4}\)

$$\begin{array}{c|rrrrrr} X-Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \\2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4\\3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 \\5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1\\6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0\end{array}$$Die Summe aller \(36\) Werte beträgt \(0\). Daher ist \(E(X-Y)=\frac{0}{36}=0\)

$$\begin{array}{c|rrrrrr} |X-Y| & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0\end{array}$$Die Summe aller \(36\) Werte beträgt \(70\). Daher ist \(E(|X-Y|)=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\)

$$\begin{array}{c|rrrrrr} \text{max}(X;Y) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\end{array}$$Die Summe aller \(36\) Werte beträgt \(161\). Daher ist \(E(\text{max}(X;Y))=\frac{161}{36}\)