Sind alle normalen Matrizen invertierbar?

Question

Aufgabe: Ich bin beim nachgrübeln auf folgende Frage gestoßen:

             Sind alle normalen Matrizen invertierbar?

Wäre schön, wenn mir die jemand mit einer Begründung beantworten könnte.

Answer 1

Die Nullmatrix ist normal, aber nicht invertierbar.

Answer 2

Aloha :)

Normal bedeutet ja \(A^\ast A=AA^\ast\) in \(\mathbb C\) bzw. \(A^TA=AA^T\) in \(\mathbb R\).

Das legt die Vermutung nahe, dass \(A^{-1}=A^\ast\) bzw. \(A^{-1}=A^T\) ist.

Allerdings müsste dann auch \(A^\ast A=\mathbf 1\) bzw. \(A^TA=\mathbf 1\) sein.

Die Nullmatrix \(A=\mathbf 0\) ist normal, aber \(A^\ast A=\mathbf 0\) und \(A^TA=\mathbf 0\).