Zeigen Sie, dass für den Konvergenzradius R von ∑∞k=0 ak * bk * z^k gilt: R ≥ R1R2

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Potenzreihen ∑^∞_k=0a_kz^k und ∑^∞_k=0b_kz^k mit Konvergenzradien R₁ > 0 und R₂ > 0.
Zeigen Sie, dass dann für den Konvergenzradius R von ∑^∞_k=0 a_kb_kz^k gilt: R ≥ R₁R₂
Problem/Ansatz:

Meine Idee war es das mit dem Wurzelkriterium zu zeigen:

1/(lim_k→∞ sup ^k√|a_k| > 0 , 1/(lim_k→∞ sup ^k√|b_k| > 0 und 1/(lim_k→∞ sup ^k√|a_kb_k| > 0

Also: 1/(lim_k→∞ sup ^k√|a_k| · 1/(lim_k→∞ sup ^k√|b_k|  ≤ 1/(lim_k→∞ sup ^k√|a_kb_k|
⇔ lim_k→∞ sup ^k√|a_k|· lim_k→∞ sup ^k√|b_k| ≥ lim_k→∞ sup ^k√|a_kb_k|
Laut Monotonieregel gilt: ^k√|a_kb_k| ≤ ^k√|a_k| ^k√|b_k|
⇔ |a_kb_k| ≤ |a_k| |b_k|
⇔ |a_kb_k| ≤ |a_kb_k|

Ich denke aber nicht, dass das so richtig sein kann, weil der Fall |a_kb_k| < |a_kb_k| nicht abgedeckt wird. Hat jemand eine bessere Idee? Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Comments

Hallo
dein Beweis gilt für absolut konvergente Reihen, also ak,bk>0
wenn eine der Reihen eine Leibnitz - Reihe ist (oder beide) also bk=(-1)^k|bk| kann man den Konvegenzradius nicht so bestimmen

allerdings IMMER  gilt |ak*bk|=|ak|*|bk| ohne größer oder kleiner Zeichen so dass für absolut konvergente reihen die Gleichheit gilt. Der Fall |akbk| < |akbk|  existiert nicht.

lul

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Hättest du vielleicht eine Idee, wie man das sonst beweisen könnte?

Answer 1

Hallo,

es seien \(S_1,S_2\) die \(\limsup\) von \((a_k),(b_k)\). Sei \(e>0\) gegeben, dann existiert eine endlichen Menge \(I\) mit

$$\forall k \in \mathbb{N}\setminus I: \quad \sqrt[k]{|a_kb_k|} =\sqrt[k]{|a_k|} \sqrt[k]{|b_k|} \leq (S_1+e)(S_2+e)$$

Da e beliebig ist, folgt:

$$\limsup (\sqrt[k]{|a_kb_k|}) \leq S_1S_2 \Rightarrow R_1R_2 \leq R$$

Gruß Mathhilf

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Jetzt verstehe ich es. Dankeschön!