Aloha :)
Die Formel für die Normalverteilung einer Zufallsvariablen \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) lautet:$$N(x;\mu;\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dt$$
Die Berechnung ist sehr aufwendig, weil das Integral nur numerisch berechnet werden kann. In Zeiten vor Computern und Taschenrechner hat man sich das Leben erleichtert, indem man die Zufallsvariable \(X\) mit der z-Transformation normalisiert hat:$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$Man kann zeigen, dass diese Zufallsvaribale \(Z\) den Erwartungswert \(\mu_z=0\) und die Standardabweichung \(\sigma_z=1\) hat. Die Verteilungsfunktion lautet nun:$$\Phi(z)=N(z;0;1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^z e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt$$
Diese Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) konnte man berechnen und in einer Tabelle ablegen. Durch die z-Transformation kann man jede normalverteilte Zufallsvariable so standardisieren, dass man die Tabellen zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) nutzen kann.
Heute haben wir Computer und Taschenrechner, sodass diese Standardisierung eigentlich gar nicht mehr nötig wäre. Aber einfache Taschenrechner können oft noch nicht mal die Standard-Normalverteilung berechnen, sodass man in vielen Fällen noch auf Tabellen oder das Internet zurückgreifen muss.
