Zeigen Sie, dass für alle x ∈ (0, 2] gilt: x − x^3/6 < sin(x) < x

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ (0, 2] gelten:
(i) x − x³/6 < sin(x) < x,
(ii) 1 − x²/2 < cos(x) < 1 − x²/2 + x⁴/24

Verwenden Sie dazu die Potenzreihendarstellungen von sin(x) bzw. cos(x)

Problem/Ansatz:

Zu (i) Wenn man das in Potenzreihendarstellung schreibt erhält man:

x-x^3/6 < ∑^∞_k=0 (-1)^k * x^2k+1/((2k+1)!) < x

Ich weiß jetzt aber nicht was man machen könnte. Ich habe schon versucht ein x auszuklammern und den Grenzwert der Reihe zu bestimmen, ich kam dann auf 1-x^2/6 < sin(x)/x < 1
Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Hallo

betrachte nur sinx=x-1/6x^3+1/(5!)*x^5 +... für Werte zwischen 0 und 2 ist  sind also  größer als  x-1/6x^3 und kleiner als x  die Glieder höherer Ordnung ändern das nicht in dem Bereich etwa 2^5/(5!)=0,25  ;  2^7/(7!)=0,025

Gruß lul

Comments

Kannst du das näher erläutern?