Zeigen Sie, dass gilt: cos(z) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)

Question

Aufgabe:

Sei z = x + iy mit x, y ∈ R. Zeigen Sie, dass gilt:

cos(z) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y).

Problem/Ansatz:

Weiß nicht wie ich weitermache, soll ich cos und cosh in der euler form miteinander multiplizieren und ann sin und sinh in euler form miteinander multiplizieren und dann voneinander abziehen? da kommt dann aber irgendwie nicht cos(z) raus.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \cos (z) & =\cos (x) \cosh (y)-i \sin (x) \sinh (y) \\ e^{i x} & =\cos (x)+i \sin (x) \quad \text { fint } z=x+i y \\ e^{i z} & =e^{i(x+i y)}-e^{i x-y} \\ \cos (z) & =\frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right) \\ \cos (z) & =\frac{1}{2}\left(e^{i x-y}+e^{i x+y}\right) \\ & =\frac{1}{2}(\cos (x-y)+i \sin (x-y)+\cos (x+y)-i \sin (x+y)) \\ & =\frac{1}{2}(\cos (x-y)+\cos (x+y))-\frac{1}{2}(\sin (x-y)-\sin (x+y)) \\ \cosh (y) & =\frac{1}{2}\left(e^{y}+e^{-y}\right) \\ \sinh (y) & =\frac{1}{2}\left(e^{y}-e^{-y}\right) \\ \cos (z) & =\cos (x) \cosh y)-i \sin (x) \sinh (x) \\ \cos (x) & =\frac{1}{2}\left(e^{i x}+e^{-i x}\right) \\ \sin (x) & =\frac{1}{2} i\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)\end{aligned} \)

Answer 1

Du solltest die Identitäten auch richtig anwenden. Sonst kommst du nicht zum Ziel.

Es gilt \( \cos(z)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}) \). Daraus folgt, dass

\(\cos(x-y)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x-y)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(x-y)}) \). Das ist aber etwas anderes als du da stehen hast:

\(\cos(x-y)\neq \frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x-y}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}x+y})\).

Achte also genau darauf, was du aufschreibst, insbesondere auf Klammern! Der Ansatz ist also durchaus in Ordnung, ich gehe aber stark davon aus, dass du dich einfach verrechnest.

Comments

aber z= x+iy und nicht x-y, i mal i ist dann i²=-1.

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Und was machst du da von der 5. zur 6. Zeile?

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Ich wandle es um von e^ix zu cosx+isinx, ich glaub auch das da ein rechenfehler drin ist, finde ihn aber nicht.

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Da steht aber nicht \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x-y)}\), sondern \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x-y}\).

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verstehe e^i(x-y) ist also 1/2 cos(x-y)+isin(x-y)

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So ist es. Deswegen auf Klammern und die genauen Identitäten achten.